¿Cómo mapea el plano la función f(x,y)=(xy, y) = (u,v)

f(x,y) = (xy,y) = (u,v)

u = xy

v = y

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Las rectas x=k hacen que

u=ky=kv  ==> v=u/k

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El eje Y es la recta x=0

u = 0y

u = 0 que es el eje V

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El eje X es la recta y=0

u=0y=0

v=0

Luego todo el eje X se transforma en el punto (0,0), esta la tenías mal.

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La recta y=c se transformará en

u = cx

v = c

Como x puede tomar todos los valores también u los tomará todos (salvo para c=0) y será la recta

Para la recta y=0 ya se vio antes que se transforma en el punto (0,0)

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Ya hemos visto que las rectas verticales se transforman en rectas que pasan por (0,0)

Y las horizontales salvo y=0 se transforman en ella misma

Y la recta y=0 se transforma en el punto (0,0)

Es como si te pusieran un corse que te apretara por la cintura hasta dejarte sin ella.

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El cuadrado [0,1]x[1,0] tiene dos horizontales, una se queda en ella misma y otra se comprime hasta el punto (0,0), de las dos verticales una es eje Y que se transforma en si misma y la otra se inclina hasta llegar a(0,0)

Luego queda un triángulo, para saber los vértices se calcula la imagen de los vértices del cuadrado

f(x,y) =(xy,y)

(0,0) --->(0,0)

(1,0) --->(0,0)

(1,1) --->(1,1)

(0,1) --->(0,1)

Luego sí, se transforma en ese triángulo

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El cuadrado [-1,1]x[-1,1] se transforma en una mariposa ya que las dos líneas horizontales se transforman en si mismas y las verticales en diagonales, pero ten en cuenta que en el lado de abajo se invierte el sentido, la derecha se hace izquierda y viceversa.

Luego más acertado que lo del corsé es que se retuerce el plano 180º

lado de arriba

(-1,1) --->(-1,1)

(1,1) ----> (1,1)

lado de abajo

(-1,-1) --->(1,-1)

(1,-1) ---> (-1,1)

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[1,2]X[0,2] está apoyado sobre el eje X, luego va a quedar un triángulo con vértice en (0,0)  veamos los otros dos vértices

(1,2) ---> (2,2)

(2,2) ---> (4,2)

Aparecen sobre la misma horizontal pero a doble distancia al eje Y de la que tenían.

¡Gracias!