Profesor puede auxiliarme con las siguientes integrales:
$$\begin{align}&∫〖2x^2 (7-3x^3 )^5 〗 dx\end{align}$$$$\begin{align}&∫_2^6x/√(5x^2+1) dx\end{align}$$Muchas gracias es usted muy amable y rápido.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La primera la resolveremos por cambio de variable.
$$\begin{align}&\int2x^2(7-3x^3)5 dx\\&\\&t=7-3x^3\\&dt = -9x^2 dx \implies x^2dx=-\frac 19dt\\&\\&=\int2·\left(-\frac 19\right)t^5dt=\\&\\&-\frac 29\int t^5 dt =\\&\\&-\frac 29 \frac{t^6}{6}+C = -\frac{t^6}{27}+C=\\&\\&-\frac{(7-3x^3)^6}{27}+C\end{align}$$·
En esta segunda haremos el cambio de los límites de integración a la vez que el cambio de variable, de esta forma los límites son los de la variable nueva y no hay que deshacer el cambio después. Es la forma ortodoxa de resolver integrales definadas con cambio de variable.
$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x}{\sqrt{5x^2+1}} dx=\\&\\&t=5x^2+1\\&dt = 10x\, dx\implies x\,dx=\frac 1{10}dt\\&\\&x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&x=6\implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\int_{21}^{181}\frac 1{10}·\frac{1}{\sqrt t}dt=\\&\\&\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-1/2}dt =\\&\\&\left. \frac 1{10}\frac {t^{1/2}}{\frac 12} \right|_{21}^{181}=\left. \frac 15 \sqrt t\; \right|_{21}^{181}=\\&\\&\\&\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\end{align}$$Y eso es todo.
