Anónimo
¿Qué puedo hacer para demostrar esta afirmación sobre bases en espacios vectoriales?
Si V es un espacio vectorial generado por un numero finito de vectores, cualquier base de V tiene el mismo numero de elementos. (Hint: Suponga que dos conjuntos {u1, u2,..., uk} y {v1, v2,.., vn} , con k diferente de n son bases ambas).
1 respuesta
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La demostración de esto depende de como te lo hayan enseñado. Si tomamos la Wikipedia donde dice que una base es el menor conjunto de vectores que genera un espacio vectorial ya lo tenemos, al ser n distinto de k uno de ellos será el menor y el mayor por lo pronto ya no puede ser base. Y el menor será base si no exister otro conjunto con menos elementos que genere el espacio vectorial. Existirá un número que sea el menor de los posibles ya que no se puede descender por debajo de 0. Y todos los conjuntos generadores con ese número de vectores serán bases, los que tengan alguno más ya no serán bases de acuerdo con esa definición.
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Si acaso pon aquí la definición que tienes tú de base por si se necesita hacer otra demostración distinta.
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Y eso es todo.