Tercera parte. Comportamiento de utilidades
La empresa “X” ha determinado que sus utilidades tienen en siguiente comportamiento:
U(q) = -2.5q2 + 725q - 8700 (la q2 es la q al cuadrado)
Esta función cuadrática, que representa una parábola, tiene un valor máximo que corresponde a su vértice. Determina la cantidad de unidades producidas y vendidas que logran el valor máximo de las utilidades, y el valor de este máximo.
1 respuesta
Julio Cesar!
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Es conocido que el vértice de una parabola de la forma
y = ax^2 + bx + c
es el punto
x= -b / (2a)
Pero esto es algo que se usa más bien en geometría. En Análisis Matemático (o Cálculo) para calcular máximos se usa un método unificado para todas las funciones que consiste en derivar e igualar a 0. Vamos a hacerlo así
U(q) = -2.5q^2 + 725q - 8700
U'(q) = -5q + 725 = 0
5q = 725
q = 725 / 5 = 145
Para completarlo bien hay que ver que eso es un máximo ya que podría ser también un mínimo. La forma de la parábola por tener signo - en x^2 es de U hacia abajo y por lo tanto el vértice es un máximo. Pero también hay una forma unificada que es calcular en valor de la derivada segunda
U''(q) = -5
Y la derivada segunda es siempre negativa, luego en q=145 también es negativa. Y al ser negativa la derivada segunda el punto es un máximo.
Y ya conocido que el número de unidades vendidas para optimizar la utilidad es 145, vamos a calcular la utilidad máxima
U(145) = -2.5 · 145^2 + 725 · 145 - 8700 = -2.5 · 21025 + 105125 - 8700 =
-52562.5 + 105125 - 8700 = 43862.5
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Resumiendo:
La cantidad que maximiza la utilidad es 145 y la utilidad máxima es $43862.5
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Y eso es todo.
Hola
Tengo una pregunta, ¿cómo es que el 8700, desaparece?
U(q) = -2.5q^2 + 725q - 8700
Saludos =D
¿Te refieres a donde pone esto?
U(q) = -2.5q^2 + 725q - 8700
U'(q) = -5q + 725 = 0
Eso es así, U'(q) es la derivada de U(q), y la derivada de un constante es 0.
Recuerda la fórmula
$$\begin{align}&f(x)=x^n\\&\\&f'(x) = n·x^{n-1}\\&\\&\text{para una constante la fórmula sería}\\&\\&f(x) = C = C·x^0\\&\\&f'(x) = C · 0·x^{-1}=0\end{align}$$Aunque no es necesario recurrir a esa fórmula que puede resultar hasta complicado, te habrán tenido que decir por fuerza que la derivada de una constante es 0, seguramente lo tienes en tu tabla de derivadas.
