¿Cobras presntación si cambias de empleo entre administraciones publicas y te quedas en paro?

Hola,

Trabajo en un ayuntamiento desde hace tres años con contrato por obra y servicio renovando cada seis meses. Estoy en una bolsa de secundaria en buena posición. Mi duda es: si me llamaran de la delegación para suplir una baja de, digamos un mes, ¿tengo luego derecho a percibir la prestación de desempleo acumulada de mi trabajo anterior?

Es una situación complicada porque para subir puestos en la bolsa y ganar puntos en oposiciones necesitas aceptar esas sustituciones aunque sean por periodos cortos. Mi trabajo actual no me ofrece estabilidad pero si lo dejo y pierdo la prestación ¿como subsistes hasta que se produzca otra baja? ¿las leyes funcionan igual para los contratos de empresas que para contratos con las administraciones públicas? ¿debes haber tenido un contrato de tres meses desde que dejaste el anterior trabajo para que se considere que estas en situación legal de desempleo?

Saludos y gracias de antemano.