Estimadores de Máxima Verosimilitud para una v.a de Poisson

Marta Díaz!

·

Debemos encontrar el valor de lambda que maximice la función de verosimilitud para los datos que nos han dado. La función de verosimilitud es el producto de las probabilidades de cada dato.

Como la función de probabilidad de Poisson es

$$\begin{align}&P(x,\lambda) = \frac{e^{-\lambda}·\lambda^x}{x!}\end{align}$$

la función de verosimilitud para n datos será:

$$\begin{align}&L(x_1,x_2,...,x_k,\lambda)=\frac{e^{-\lambda}·\lambda^{x_1}}{x_1!}·\frac{e^{-\lambda}·\lambda^{x_2}}{x_2!}·\;···\;·\frac{e^{-\lambda}·\lambda^{x_n}}{x_n!}\end{align}$$

El denominador es una constante, luego maximizaremos el numerador.  Y el numerador será tanto más grande cuanto mayor sea su logaritmo neperiano, luego lo que vamos a maximizar al final es el logaritmo neperiano del numerador.  Que por las propiedades de los logaritmos será:

$$\begin{align}&ln(e^{-\lambda}·\lambda^{x_1}·e^{-\lambda}·\lambda^{x_2}...e^{-\lambda}·\lambda^{x_n})=\\&\\&n·ln(e^{-\lambda}) + \sum_{i=1}^k ln \,\lambda^{x_i}=\\&\\&-n\lambda+\sum_{i=1}^n x_i·ln \,\lambda=\\&\\&-n\lambda+ln \lambda \sum_{i=1}^n x_i=\\&\\&\text {derivamos respecto de }\lambda \text{ e igualamos a 0}\\&\\&-n + \frac{ \sum_{i=1}^n x_i}{\lambda}=0\\&\\&\frac{ \sum_{i=1}^n x_i}{\lambda} = n\\&\\&\lambda = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \overline x\\&\end{align}$$

Luego después de todas estas cuentas encontramos que el estimador de máxima verosimilitud par el parámetro lambda de una distribución de Poisson es la media de los resultados obtenidos.

Luego

lambda = (9+11+8+7+10+9+11) / 7 = 65/7

Y lo dejamos así porque los decimales tienen un ciclo muy largo en este caso.

·

Y eso es todo.