¿Acaso el siguiente limite está correcto?
Hola Valero
Hace semanas usted me solución un limite parecido, pero ahora varias cosas cambiaron y tuve que cambiar algunas cosas. Pero de todos modos quiero saber si tengo algún error.
Quite el valor absoluto porque por siempre sería positivo, pues se acerca sólo por la derecha de 0.
Espero su ayuda.
1 Respuesta
Está bien, unicamente se podría añadir que
x < e^k ==> ln(x) < ln(e^k)
Porque la función lnx es monótona estrictamente creciente.
También podrías calcular el limite general en lugar del límite por la derecha. Es lo mismo ya que al no estar definida lnx para x<=0 el entorno que se toma para el general es
(Dom f) n (-m, m) = (0, oo) n (-m, m) = (0, m)
Que es lo mismo que se toma para el límite por la derecha.
Y eso es todo.
Espera, que mejor te lo escribo completo si quieres. Supongo que lo quieres es calcular el límite en 0, ¿no?
Exactamente... para demostrar el limite de la función, como usted dice, sólo podemos hablar del limite por la derecha. No tendría sentido hablar por la izquierda, si ni siquiera hay un intervalo que contenga a pero y este definida en cada numero del intervalo. Tenía muchas dudas en los limites por definición cuando tienden a infinitos y cuando da infinito, pero ya usted me ha dicho que está todo casi bien. Poco a poco trataré de familiarizarme con esto, pues nunca lo había practicado, solamente los típicos limites donde divides entre la potencia más grande y ya, sin saber realmente lo que estamos asiendo. Muchas gracias Valero.
Yo pienso que lo deberías dejar así
$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}ln(x) =-\infty\iff \forall K\lt 0\; \exists\, m\gt0 \;t.q.si\;x \in(Dom\; ln)\cap(-m,m)\implies ln(x)\lt K\\ &\\ &\text {como }Dom\;ln = (0,\infty)\implies(Dom \;ln)\cap(-m,m) = (0,m)\\ &\\ &\iff \forall K\lt 0\; \exists\, m\gt0 \;t.q.si\;x \in (0,m)\implies ln(x)\lt K\\ &\\ &\text{Dado un K tomamos }m=e^K\\ &\\ &Si\; 0\lt x\lt e^K\\ &\\ &\text{como la función ln(x) es estricatamente creciente en }(0,\infty)\\ &\\ &ln(x)\lt ln(e^K)=K\end{align}$$Esa es la demostración que daría yo. De acuerdo con la definición hay límite en el 0 aunque por la izquierda no lo haya.
Y eso es todo.
