Problema de Integrales triples...ayuda por favor!
Les agradeceria me apoyaran...de antemano, gracias!
Los estudiantes de ingeniería tecnológica están modelando un nuevo ventilador con una sola hélice que consta de una sola placa de plástico. Si la placa se encuentra al centro de -1/2≤x≤1/2; -1/2≤y≤1/2; -1/2≤z≤1/2 y la función de densidad es constante. Localiza el momento de inercia I_x, para la función f(x,y,z)=1.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Zankass Plancarte!
El momento de inercia de un cuerpo es
$$\begin{align}&I=\int_Mr^2dm\\ &\\ &\text{Si el cuerpo tiene una función de densidad}\\ &\\ &f(x,y,z)\\ &\\ &\text{la integral queda en}\\ &\\ &I =\int_Vr^2·f(x,y,z)dV=\\ &\\ &\int\int\int_D r^2·f(x,y,z)dx\,dy\,dz=\\ &\\ &\text{prescindimos de f(x,y,z) por ser 1}\\ &r^2=y^2+z^2 \text{ al girar sobre el eje X}\\ &\\ &\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}(y^2+z^2)dxdydz=\\ &\\ &\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\left.(y^2+z^2)x\right|_{-1/2}^{1/2}dydz=\\ &\\ &\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}(y^2+z^2)dydz=\\ &\\ &\int_{-1/2}^{1/2}\left[\frac{y^3}{3}+z^2y \right]_{-1/2}^{1/2}dz=\\ &\\ &\int_{-1/2}^{1/2}\left(\frac 1{24}+\frac{z^2}{2}+\frac 1{24}+\frac{z^2}{2}\right)dz=\\ &\\ &\int_{-1/2}^{1/2}\left(z^2+\frac 1{12} \right)dz=\\ &\\ &\left[\frac {z^3}{3}+\frac z{12} \right]_{-1/2}^{1/2}=\\ &\\ &\frac{1}{24}+\frac 1{24}+\frac{1}{24}+\frac{1}{24}=\frac 16\\ &\end{align}$$Y eso es todo, como es una masa por radio al cuadrado la medida más normal será kg·m^2
