Tengo una duda sobre la siguiente continuidad

Alberto García!

La primera que se le ocurre a todo el mundo es xn = 1/n pero como nos dicen que debe estar en (0,1) pondremos

xn = 1/(n+1)

Veamos cual es la imagen por f

$$\begin{align}&f(x_n) = \frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{n+1-1}{n+1}}= \frac 1n\end{align}$$

Vaya, ha salido de Cauchy.

Vamos a probar con la que va en sentido contrario

xn = 1- 1/(n+1) = n/(n+1)

$$\begin{align}&f(x_n)= \frac{\frac{n}{n+1}}{1-\frac{n}{n+1}}=\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{n+1-n}{n+1}}=n\end{align}$$

Esta sí, las imagenes son la sucesión

f(xn) = n

Que no es de Cauchy, las diferencias entre términos son siempre mayores o iguales que 1

Si acaso podrías necesesitar demostrar que la sucesión xn es de Cauchy. Pero es que es tan obvio.

xn = n/(n+1)

lim n-->infinito de n/(n+1) = 1

además es siempre creciente, para ver eso es mejor tomarla como

xn=1-1/(n+1)

dado un epsilon>0 existe un m tal que

1/(m+1) < epsilon

-1/(m+1)  > -epsilon

1- 1(m+1) > 1-epsilon

entonces todos los términos de la sucesión posteriores a m estarán en el intervalo

(1-epsilon, 1)

y la distancia entre dos cualquiera de ellos será menor que épsilon, luego

xn = 1 - 1/(n+1)

es una sucesión de Cauchy

y f(xn) = n

No es una sucasión de Cauchy.