Problema con derivadas complejas...definiciones
De antemano agradezco su apoyo....
Calcular la derivada de la función f(z)=(z-4)/(z+4) en z≠-4 por medio de su definición.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La definición de derivada compleja en un punto zo es:
$$\begin{align}&f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{\frac{z-4}{z+4}-\frac{z_0-4}{z_0+4}}{z-z_0}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{(z-4)(z_0+4)-(z+4)(z_0-4)}{(z+4)(z_0+4)(z-z_0)}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{zz_0+4z-4z_0-16-zz_0+4z-4z_0+16}{(z+4)(z_0+4)(z-z_0)}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{8z-8z_0}{(z+4)(z_0+4)(z-zo)}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{8(z-z_0)}{(z+4)(z_0+4)(z-zo)}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{8}{(z+4)(z_0+4)}=\\ &\\ &\frac{8}{(z_o+4)(z_0+4)}=\frac{8}{(z_0+4)^2}\\ &\\ &\text{luego}\\ &\\ &f'(z)=\frac{8}{(z+4)^2}\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
