1. En un documento de texto, resuelve los siguientes problemas con valores iniciales utilizando la Transformada de Laplace y ano

Haremos la transformada de Laplace de los dos lados de la ecuación. A la transformada de y la llamaré z para simplificar la escritura

L{y}=z

Recordemos que

L{y''} = s^2·z - s·y(0) - y'(0)

Y la ecuación es

y'' + 4y = 9t

hallando la transformada tenemos

s^2·z - s·y(0) - y'(0) + 4z = 9 / s^2

s^2·z - s·0 - 7 + 4z = 9 / s^2

s^2·z - 7 + 4z = 9 / s^2

s^2·z + 4z = 9/s^2 + 7

z(s^2+4) = (9+7s^2)/s^2

z = (9+7s^2) / [s^2(s^2+4)]

z = (9+7s^2) / [s^2·(s^2+4)]

Debemos descomponer esto en fracciones simples

$$\begin{align}&\frac{9+7s^2}{s^2(s^2+4)}=\frac as+\frac b{s^2}+\frac {cs+d}{s^2+4}\\ &\\ &9+7s^2= as(s^2+4)+b(s^2+4)+(cs+d)s^2=\\ &(a+c)s^3+(b+d)s^2+4as+4b\\ &\\ &4b=9\implies b= \frac 94\\ &4a=0\implies a=0\\ &b+d=7\implies d= 7-\frac 94=\frac {19}4\\ &a+c=0\implies c=0\\ &\\ &luego\\ &\\ &\frac{9+7s^2}{s^2(s^2+4)} = \frac{9}{4s^2}+\frac{19}{4(s^2+4)}\\ &\\ &\text {Y calculamos la inversa de la transformada}\\ &\\ &y=\frac{9t}4+\frac{19}{8}\cos(2t)\end{align}$$

Y eso es todo.