Demostración usando integral de Riemann-Stieltjes.

Sea f una función continua y g de variación acotada, se define

$$\begin{align}&I=[a,∞) \end{align}$$

y 

$$\begin{align}&∫_a^∞▒〖=lim∫_a^x▒fdg〗\end{align}$$

Cuando el límite existe, por el corolario 14 cada integral dentro del límite existe, se define

$$\begin{align}&g(x)=a_k\end{align}$$

para 

$$\begin{align}&k-1< x ≤ k\end{align}$$

Muestra que cualquier serie infinita:

$$\begin{align}&∑_(k=1)^∞▒b_k \end{align}$$

se puede expresar como una integral de Riemann-Stieltjes.