¿Cuál es el rango de la siguiente función?
Buenas tardes,
Estoy trabajando con domino y rango de funciones de manera algebraica, pero al tratar de despejar "y" en función de "x" llego a un punto donde no sé como continuar el proceso.
Agradecería su cordial ayuda
$$x+6\over\sqrt{x-5}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El rango de una función es el dominio de la función inversa. Pero a veces resulta complicado calcular la inversa o salen dos funciones inversas.
Antes hay que hacer unas consideraciones previas, Para que f(x) estñe definida debe ser
x-5>0
x>5
Luego el numerador es
x+6 > 5+6 = 11
Luego numerador y denominador positivos significa que y es siempre positiva.
$$\begin{align}&y=\frac{x+6}{\sqrt{x-5}}\\ & \\ & y \sqrt{x-5}=x+6\\ & \\ & y^2(x-5) = x^2+12x+36\\ & \\ & x^2 +(12-y^2)x+36+5y^2=0\\ & \\ & x=\frac{-12+y^2\pm \sqrt{(12-y^2)^2-4(36+5y^2)}}{2}=\\ & \\ & \frac{-12+y^2 \pm \sqrt{144-24y^2+y^4-144-20y^2}}{2}=\\ & \\ & \frac{-12+y^2\pm \sqrt{y^4-44y^2}}{2}=\\ & \\ & \frac{-12+y^2\pm y \sqrt{y^2-44}}{2}\end{align}$$Y esta función x=f(y) estará definida siempre que el radicando no sea negativo. Pero también deberá ser y positivo tal como se dedujo al principio
$$\begin{align}&y^2-44 \ge 0\\ & \\ & y^2 \ge 44\\ & \\ & |y| \ge \sqrt{44}=2 \sqrt{11}\\ & \\ & \text{por lo que decía de que }y\gt 0\text{ debe ser}\\ & \\ & y \gt 2 \sqrt{11}\\ & \\ & \text{Y el rango será}\\ & \\ & Rango\; f = [2 \sqrt {11}, \infty)\end{align}$$
