El área de la Superficie de Revolución
Calcular el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva definida por las ecuaciones x = t - sen(t), y = 1- cos(t), con 0<= t <= 2pi, al rededor del eje OX.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Lugui Bogo!
Aquí precisamente puedo contestar la pregunta, que en el otro lado calculé el volumen en vez del área.
Para el área de la superficie de revolución si que existen fórmulas conocidas
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Area_de_superficie_en_parametricas
$$\begin{align}&A= 2\pi\int_{t_0}^{t_1}y(t) \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\; dt=\\ &\\ &2\pi\int_0^{2\pi}(1-cost)\sqrt{(1-cost)^2+sen^2t}\;dt=\\ &\\ &2\pi\int_0^{2\pi}(1-cost) \sqrt{1-2cost +\cos^2t+sen^2t}\;dt=\\ &\\ &2\pi\int_0^{2\pi}(1-cost)\sqrt{2-2cost \;dt}=\\ &\\ &2\sqrt 2\pi\int_0^{2\pi}(1-cost)^{\frac 32}dt=\\ &\\ &2\sqrt 2\pi\int_0^{2\pi}2^{3/2}\left(\frac{1-cost}{2}\right)^{3/2}dt=\\ &\\ &8\pi\int_0^{2\pi}\left(sen^2 \frac t2\right)^{3/2}dt=\\ &\\ &8\pi\int_{0}^{2\pi} sen^3 \frac t2dt=\\ &\\ &8\pi\int_0^{2\pi}\left(1-\cos^2 \frac t2\right)sen \frac t2 dt=\\ &\\ &8\pi\left[-2cos \frac t2+\frac 23 \cos^3 \frac t2 \right]_0^{2\pi}=\\ &\\ &8\pi\left(2+2-\frac 23-\frac 23\right)=\frac {64\pi}{3}\approx 67.02064328\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
¡Gracias! Profesor esta formula es mas conocida, pero la otra es interesante. APRENDAMOS y no ERREMOS.
Puntua la pregunta como excelente, lo que es.
