Problema de convergencia...ayuda por favor!
Describe dos ejemplos de sucesiones de funciones, que converjan
puntualmente a una función f, pero que la convergencia no sea uniforme.
En cada ejemplo:
i) Da la regla de correspondencia del término general.
1 Respuesta
Zankass Plancarte!
¿Tenías otro nombre de usuario antes que conociese?
Podemos tomar por ejemplo la sucesión de funciones
fn(x) = x^n
en el intervalo [0, 1) para hacerlo más sencillo.
Converge puntualmente a la función f=0 en el intervalo [0,1) ya que el límite
$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}x^n = 0 \; si\; x\lt 1 ,\quad 1\; si\; x=1,\quad \infty\; si\; x\gt 1\end{align}$$pero la convergencia es puntual porque dado un épsilon y un n siempre existirá un punto xo suficientemente cercano a 1 tal que
xo^n > epsilon
Y por no usar otra función exponencial que son las típicas voy a poner esta
$$\begin{align}&f_n(x) = log_n(x), \quad x\in [1,\infty)\end{align}$$Esta función converge puntualmente a la función 0 ya que
log_n(x) = y ==> x=n^y
Y cuando n sea muy grande y deberá ser muy pequeño para la potencia sea un número finito.
Pero no converge uniformemente porque dado un épsilon y cualquier n siempre podremos encontrar un punto xo suficientemente grande de forma que log_n(xo) > épsilon
Por ejemplo, suponiendo epsilon < 1 basta con tomar xo=n con lo cual
log_n(x0) = log_xo(xo) = 1 > epsilon
Y eso es todo.
