Ejercicio por funciones de varias variables

Este es el ejercicio:

  • Hallar y representar gráficamente el dominio de la siguientes funciones:
$$\begin{align}&f (x , y) = arsen (\frac{y - 1}{x})\end{align}$$

Gracias Un Saludo

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Respuesta
1

Enrique et!

Para que la función este definaida el argumento de la función debe ser un valor comprendido entre -1 y 1. Ya que el seno solo puede tomar esos valores intermedios. Además, si saliese el valor x=0 habría que descartarlo ya que la operación divisón no est adefinida en ese caso.

$$\begin{align}&\left|\frac{y-1}x\right|\le 1\\ &  \\ &  |y-1| \le |x|\\ &  \\ &  \text{Esto equivale a varias desigualdades}\\ &  \\ &  -|x| \le |y-1| \le |x|\\ &  \\ &  Si \quad x \gt 0\implies -x \le y-1 \le x\\ &  Si \quad x\le 0\implies x \le y-1\le -x\\ &  \\ &  \text {siempre nos manejamos mejor cuando la despejada es la y}\\ &  Si \quad x \gt 0\implies -x+1 \le y \le x+1\\ &  Si \quad x\le 0\implies x+1 \le y\le -x+1\end{align}$$

Luego hay que dibujar las rectas

y= -x+1

y = x+1

Y tomar los puntos comprendidos entre ellas según las condiciones que hemos hallado, Se ve que saldrán dos triángulos opuestos por el vértice.

Para ver que lo sombreado es el dominio probaremos que los puntos (-1,1) y (1,1) son interiores.

Para (-1,1), como x < 0 la desigualdad a cumplir sería

x+1 <= y <= -x+1

-1+1 <= 1 <= -(-1)+1

0 <= 1 <= 2   se cumple

Y para (1,1) como la x>0 lo que debe cumplirse es

-x+1 <= y <= x+1

-1+1 <= 1 <= 1+1

0 <= 1 <= 2  se cumple

Luego esas dos son las zonas que cumplen las desigualdades.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Espero que aguante la imagen, la he incrustado con un método nuevo que han implementado en la página.

$$\begin{align}&D=\{(x,y)\in \mathbb R^2 |x\lt 0,\;x+1\le y \le -x+1\} \cup\\ &\{(x,y)\in \mathbb R^2 |x\gt 0,\;-x+1\le y \le x+1\}\end{align}$$

Por favor Víctor, escribí esa fórmula arriba y no hay forma de borrarla, incluso si la quiero dejar reducida a un solo carácter van y me echan del editor y de la posibilidad de ampliar respuesta, tengo que recargar la web para poder volver aquí recuperando el borrador.

Y ahora voy con la ampliación de la respuesta.

Bueno, no lo deje bien del todo. Primero hay que matizar que el dibujo el dominio es lo sombreado y las rectas incluidas salvo el punto (0,1) porque anula el denominador.

Y las expresiones del dominio pueden ser:

$$\begin{align}&D=\{(x,y)\in \mathbb R^2 |x\neq 0,\;|y-1|\lt|x|\} \end{align}$$

Es la más compacta pero más complicada.

Y esta es más asequible

$$\begin{align}&D=\{(x,y)\in \mathbb R^2 |x\lt 0,\;x+1\le y \le -x+1\} \cup\\ & \{(x,y)\in \mathbb R^2 |x\gt 0,\;-x+1\le y \le x+1\}\end{align}$$

Entonces en la primera contestación lo mejor es que esas desigualdades que puse con x <=0 las consideres solo con x<0 quedaría así.

$$\begin{align}&\left|\frac{y-1}x\right|\le 1\\ &  \\ &  |y-1| \le |x|\\ &  \\ &  \text{Esto equivale a varias desigualdades}\\ &  \\ &  -|x| \le |y-1| \le |x|\\ &  \\ &  Si \quad x \gt 0\implies -x \le y-1 \le x\\ &  Si \quad x\lt 0\implies x \le y-1\le -x\\ &  \\ &  \text {siempre nos manejamos mejor cuando la despejada es la y}\\ &  Si \quad x \gt 0\implies -x+1 \le y \le x+1\\ &  Si \quad x\lt 0\implies x+1 \le y\le -x+1\end{align}$$

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