Jurisdicción competente

A ver si puede ayudarme con esta cuesión:
Pareja de hecho formada por español y chilena-italiana que establecen su domicilio en Castellón, tienen un hijo y se rompe la relación afectiva. Ella se marcha a residir a Argentina con el menor, con el consentimiento del padre. Ahora se proponen regularizar la situación respecto al menor. ¿Son competentes los juzgados españoles? En caso de presentarse la demanda en Argentina, la sentencia que se dicte ¿se reconocería en España? ¿Existe tratado internacional?
Gracias por su tiempo