Problema de polinomios
Tengo que resolver un problema de polinomios y no sé cómo enfocarlo. Ahí te va por si puedes ayudarme. Muchas gracias por tu tiempo.
Hallar un polinomio de grado 3 en el que el coeficiente del término de tercer grado es 2 y que al dividirlo entre (x-1) (x+2)y (x-2) se obtienen de restos 1,4,5 respectivamente.
Hallar un polinomio de grado 3 en el que el coeficiente del término de tercer grado es 2 y que al dividirlo entre (x-1) (x+2)y (x-2) se obtienen de restos 1,4,5 respectivamente.
Respuesta de Diego Prieto
1
UN par de cosas antes de empezar
^ Va a significar elevado al numero que este detrás
En las fórmulas voy a suprimir el símbolo "por".. los números y letras que estén juntos significa que están multiplicados
Empezamos... buscamos un polinomio de la siguiente forma
2x^3 + Bx^2 +Cx + D
Al decirnos que un polinomio es divisible por otro, quiere decir que al sustituir por las "soluciones del divisor", el resultado es 0
Por ejemplo
2x + 4 es divisible por x+2 porque al sustituir por
x=-2... nos da 0
2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0
En nuestro caso nos dice que hay resto...
Sabemos que D=dividendo
d=divisor C = cociento R=resto
Sabemos que D = dC + R
Lo que es lo mismo
D - R = dC
Por tanto vamos a restar el Resto, a cada una de las "divisiones" que vamos a hacer.
Para hacer las divisiones vamos a sustituir por el valor de las soluciones del divisor
PRIMERA x-1 ----- x=1 R=1
por tanto
2x^3 +Bx^2 +Cx + D - 1 = 0
Sustituimos x por el 1 de x=1
2(1)^3 + B(1)^2+C(1)+ D - 1=0
Lo que es lo mismo
2 + B + C + D - 1 = 0
B + C + D - 1 = 0
Hacemos lo mismo con las otros dos.
Para x +2 x=-2 R = 4
Lo hago directamente
-16 + 4B - 2C + D - 4 = 0
Recuerda que un numero negativo elevado a un numero impar, sigue siendo negativo, y a un numero par es positivo
por tanto
4B - 2C + D - 20 = 0
Y para x-2 x=2 R=5
16 + 4B + 2C + D - 5 =0
4B + 2C +D + 11 = 0
Tenemos tres ecuaciones con tres incognitas
B + C + D - 1 = 0
4B - 2C + D - 20 = 0
4B + 2C + D + 11 = 0
Ahora hay que resolver el sistema...
Vamos a empezar
Si le cambiamos el signo a la tercera y la sumamos a la tercera
4B - 2C + D - 20 = 0
-4B - 2C - D - 11 = 0
Sumamos
-4C - 31 = 0
C = -31/4
Multiplicamos la primera por - 4 y se la sumamos a la segunday se la sumamos
-4B -4C -4D + 4 = 0
4B + 2C + D + 11= 0
-2C - 3D + 15 = 0
Sustituimos C por su valor
-31/4
-2(-31/4) - 3D + 15 = 0
Lo que es lo mismo
31/2 - 3D + 15 = 0
31 - 6D + 30 = 0
D = 61/6
Y ahroa sustituimos C y D en la primera y obtenemos B
B +C + D - 1 = 0
B -31/4 + 61/6 - 1 = 0
El minimo comum multiplo de 4 y 6 es 12
12B - 93 + 122 - 12 = 0
12B + 17 = 0
B = -17/12
Sale el siguiente polinomio
2x^3 -17/12x^2 -31/4x + 61/6
Sale una cosa muy rara... pero la idea es esa... si sustituye por las soluciones del divisor, se le resta el RESTO... y se recuelve el sistema de ecuaciones... Comprueba que no me haya equivocado en los cálculos
Por favor, cierra la pregunta si no tienes más dudas.
^ Va a significar elevado al numero que este detrás
En las fórmulas voy a suprimir el símbolo "por".. los números y letras que estén juntos significa que están multiplicados
Empezamos... buscamos un polinomio de la siguiente forma
2x^3 + Bx^2 +Cx + D
Al decirnos que un polinomio es divisible por otro, quiere decir que al sustituir por las "soluciones del divisor", el resultado es 0
Por ejemplo
2x + 4 es divisible por x+2 porque al sustituir por
x=-2... nos da 0
2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0
En nuestro caso nos dice que hay resto...
Sabemos que D=dividendo
d=divisor C = cociento R=resto
Sabemos que D = dC + R
Lo que es lo mismo
D - R = dC
Por tanto vamos a restar el Resto, a cada una de las "divisiones" que vamos a hacer.
Para hacer las divisiones vamos a sustituir por el valor de las soluciones del divisor
PRIMERA x-1 ----- x=1 R=1
por tanto
2x^3 +Bx^2 +Cx + D - 1 = 0
Sustituimos x por el 1 de x=1
2(1)^3 + B(1)^2+C(1)+ D - 1=0
Lo que es lo mismo
2 + B + C + D - 1 = 0
B + C + D - 1 = 0
Hacemos lo mismo con las otros dos.
Para x +2 x=-2 R = 4
Lo hago directamente
-16 + 4B - 2C + D - 4 = 0
Recuerda que un numero negativo elevado a un numero impar, sigue siendo negativo, y a un numero par es positivo
por tanto
4B - 2C + D - 20 = 0
Y para x-2 x=2 R=5
16 + 4B + 2C + D - 5 =0
4B + 2C +D + 11 = 0
Tenemos tres ecuaciones con tres incognitas
B + C + D - 1 = 0
4B - 2C + D - 20 = 0
4B + 2C + D + 11 = 0
Ahora hay que resolver el sistema...
Vamos a empezar
Si le cambiamos el signo a la tercera y la sumamos a la tercera
4B - 2C + D - 20 = 0
-4B - 2C - D - 11 = 0
Sumamos
-4C - 31 = 0
C = -31/4
Multiplicamos la primera por - 4 y se la sumamos a la segunday se la sumamos
-4B -4C -4D + 4 = 0
4B + 2C + D + 11= 0
-2C - 3D + 15 = 0
Sustituimos C por su valor
-31/4
-2(-31/4) - 3D + 15 = 0
Lo que es lo mismo
31/2 - 3D + 15 = 0
31 - 6D + 30 = 0
D = 61/6
Y ahroa sustituimos C y D en la primera y obtenemos B
B +C + D - 1 = 0
B -31/4 + 61/6 - 1 = 0
El minimo comum multiplo de 4 y 6 es 12
12B - 93 + 122 - 12 = 0
12B + 17 = 0
B = -17/12
Sale el siguiente polinomio
2x^3 -17/12x^2 -31/4x + 61/6
Sale una cosa muy rara... pero la idea es esa... si sustituye por las soluciones del divisor, se le resta el RESTO... y se recuelve el sistema de ecuaciones... Comprueba que no me haya equivocado en los cálculos
Por favor, cierra la pregunta si no tienes más dudas.
