Las integrales de las fiunciones
Hola
Una variable continua tiene por función de densidad de probabilidad a:
6x(1-x), si0<= x <= 1
F(x)=
0 si otro caso
a. Calcule la función generadora de momentos.
b. Use a la función generadora de momentos para determinar la media y la varianza de
dicha variable
Saludos.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La función generadora de momentos es.
$$\begin{align}&M_X(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f_X(x)dx=\\ &\\ &6 \int_0^1e^{tx}(x-x^2)dx=\\ &\\ &u=x-x^2\quad\quad du = (1-2x)dx\\ &dv=e^{tx}dx\quad\quad v=\frac{e^{tx}}{t}\\ &\\ &6\left.(x-x^2)\frac{e^{tx}}{t}\right|_0^1-\frac 6t\int(1-2x)e^{tx}dx=\\ &\\ &0-\frac 6t\int_0^1(1-2x)e^{tx}dx=\\ &\\ &u=1-2x\quad\quad du = -2dx\\ &dv=e^{tx}dx\quad\quad v=\frac{e^{tx}}{t}\\ &\\ &=\left.-\frac 6t(1-2x)\frac{e^{tx}}{t}\right|_0^1-\frac{12}{t^2}\int_0^1 e^{tx}dx =\\ &\\ &\frac{6e^t}{t^2}+\frac {6}{t^2}-\left[\frac{12}{t^2}\frac{e^{tx}}{t}\right]_0^1=\\ &\\ &\frac{6e^t}{t^2}+\frac {6}{t^2}-\frac{12e^t}{t^3}+\frac{12}{t^3}=\\ &\\ &\\ &\frac{6e^t+6}{t^2}+ \frac{12-12e^t}{t^3}\end{align}$$E(X) es la derivada primera de Mx(t) en t=0
Pero en t=0 no está definida la función generadora de momentos, no es continua y no tiene derivadas, luego no nos sirve para calcular la media y la varianza.
Y eso es todo.
