Problema de Teoría de Números.

Hola Valero:

Resolver la congruencia lineal: 87x :~ 57(mod 105)

Espero tu ayuda!

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1

De los tres métodos que me mandaste en unas preguntas solo el primero lo veo factible para resolver esta ecuación

Decía que dada la ecuación

ax :~ b (mod m)

se buscaba una solución r, s de la ecuación

ar + ms = b

con lo cual

ar :~ b (mod m)

y r era la solución

Luego la ecuación diofántica que hay que plantear es

87r + 105s = 57

mcd(87, 105 ) = mcd(3·29, 3·5·7) = 3

y 3 divide a 57 luego hay solución

Usamos el algoritmo extendido de Euclides

105 = 87 + 18 ==> 18 = 105 - 87

87 = 4·18 + 15 ==> 15 = 87 - 4·18

18 = 15 + 3 ==> 3 = 18-15

15 = 5·3 + 0

Y ahora se hace al contrario

3 = 18 -15 =

18 - 87 + 4·18 = 5·18 - 87 =

5·(105 - 87) - 87 = 5·105 - 6·87

3 = -6·87 + 5·105

57 = 19·3 = -114·87 + 95·105

Luego

87r + 105s = -114·87 + 95·105

r=-114, s=95

La r será la respuesta, lo que pasa es que no nos gusta que sea negativa

El conjunto total de soluciones es

r = -114 + (105/3)i = -114+35i

s = 95 - (87/3)i = 95 - 29i

Vamos a tomar i=4

r = -114+4·35 = 26

x=26

Vamos a comprobarla

87·26 = 2262

2262 / 105 = 21.54...

2262 - 21·105 = 57

Luego esta bien.

Y eso es todo.

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