Problema de Teoría de Números.

De los tres métodos que me mandaste en unas preguntas solo el primero lo veo factible para resolver esta ecuación

Decía que dada la ecuación

ax :~ b (mod m)

se buscaba una solución r, s de la ecuación

ar + ms = b

con lo cual

ar :~ b (mod m)

y r era la solución

Luego la ecuación diofántica que hay que plantear es

87r + 105s = 57

mcd(87, 105 ) = mcd(3·29, 3·5·7) = 3

y 3 divide a 57 luego hay solución

Usamos el algoritmo extendido de Euclides

105 = 87 + 18 ==> 18 = 105 - 87

87 = 4·18 + 15 ==> 15 = 87 - 4·18

18 = 15 + 3 ==> 3 = 18-15

15 = 5·3 + 0

Y ahora se hace al contrario

3 = 18 -15 =

18 - 87 + 4·18 = 5·18 - 87 =

5·(105 - 87) - 87 = 5·105 - 6·87

3 = -6·87 + 5·105

57 = 19·3 = -114·87 + 95·105

Luego

87r + 105s = -114·87 + 95·105

r=-114, s=95

La r será la respuesta, lo que pasa es que no nos gusta que sea negativa

El conjunto total de soluciones es

r = -114 + (105/3)i = -114+35i

s = 95 - (87/3)i = 95 - 29i

Vamos a tomar i=4

r = -114+4·35 = 26

x=26

Vamos a comprobarla

87·26 = 2262

2262 / 105 = 21.54...

2262 - 21·105 = 57

Luego esta bien.

Y eso es todo.