Pregunta sobre transformada de laplace

Resuelve los siguientes problemas con valores iniciales utilizando la Transformada de Laplace.

a) y prima -y =1 y(0)=0

b) y prima+2y= t y(0)= -1

Muchas gracias por su ayuda

saludos

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Los problemas de transformada de Laplace son de categoría, luego solo hago uno por pregunta y el hacer más de uno se supeditará a puntuar con 5 los anteriores. Hago el primero.

Calculamos la transformada de Laplace de los dos lados de la ecuación:

$$\begin{align}&\text{Sea} \\ &y =f(t)\\ &y'=f'(t)\\ &\\ &\text{denotemos}\\ &\overline y=\mathscr L\{y\}=\mathscr L\{f(t)\}\\ &\\ &\text{La teoría dice}\\ &\mathscr L\{y'\}=\mathscr L\{f'(t)\}=s·\mathscr L\{f'(t)\}-f(0)=s\overline y-f(0)\\ &\\ &\text{y la teoría también dice}\\ &\\ &\mathscr L\{1\}=\frac 1s\\ &\\ &\text{con todo esto}\\ &\\ &\mathscr L \{y'-y  \} =\mathscr\{1\}\\ &\\ &\text{por linealidad de la transformada}\\ &\\ &\mathscr L \{y'\}-\mathscr L \{y\}=\frac 1s\\ &\\ &s\overline y-\overline y = \frac 1s\\ &\\ &\overline y(s-1)= \frac 1s\\ &\\ &\overline y=\frac{1}{s(s-1)}\\ &\\ &\text{Y ahora hay que hallar la inversa de la transformada}\\ &\\ &\frac{1}{s(s-1)}=\frac{a}{s}+\frac{b}{s-1}=\frac{as-a+bs}{s(s-1)}\\ &\\ &\text{se decude}\\ &(a+b)s-a=1\\ &-a=1 \implies a=-1\\ &a+b=0 \implies -1+b=0\implies b=1\\ &\\ &\overline y = -\frac 1 s +\frac{1}{s-1}\\ &\\ &\text{Y mirando la tabla tenemos que la inversa es}\\ &\\ &y=-1+e^{-(-1)t}= e^t-1\end{align}$$

Y verificamos que está bien
y'- y = e^t - (e^t - 1)= 1
y(0) = e^0-1 = 1-1=0
Luego está bien.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si quieres el otro puntúa 5 aquí y mándamelo en otra pregunta.

gracias por su respuesta me ayudo mucho...,.. ojala pueda ayudarme con el otro ejercicio

Resuelve los siguientes problemas con valores iniciales utilizando la Transformada de Laplace.
b) y prima+2y= t y(0)= -1

Muchas gracias por su ayuda
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