Transformada inversa de laplace con fracciones parciales y''-2y'+5y= 0 , y(0)=2, y'(0)=4
Estoy realizando el siguiente ejercicio pero lo que me freno fue el 0 no se por que valor lo debo reemplazar. Si fuera t lo reemplazo por 1/s^2
1 Respuesta
El cero lo debes sustituir por su transformada de igual forma que cuando tenias una función de t la reemplazabas por su transformada. Si acudes a la definición de la transformada te vas a encontrar con la integral de la función cero entre 0 y +infinito que es cero, luego la transformada de cero es el cero
Te va a quedar
$$\overline{y}(s) = \frac{0+2p+4}{p^2-2p+5}=\frac{2p+4}{p^2-2p+5}$$Y lo dejo aquí por si lo quieres terminar. Si tienes alguna duda me consultas.
Hola, estoy confundida
realice el ejercicio y voy con lo siguiente
(s^2)(y)+ 5sy +4y=0
y ((s^2)+5s+4)=0
hay me quede no se como seguir me puedes explicar, muchas gracias.
¡Qué lio llevo yo con las p y las s! Como en mi libro usan la p no me acostumbro a la s. Además lo hice mal. Para no liarnos con el exceso de letras quitaré el (s) dejando solo y barra
Haciendo la transformada en los dos lados es
$$\begin{align}&s^2·\overline{y}-s·y_0 -y_0´-2(s·\overline{y}-y_0)+5 \overline{y}= 0\\ &\\ &(s^2-2s+5)\overline{y}=s·y_0+y_0^´-2y_0=2s+4-4 = 2s\\ &\\ &\overline{y}=\frac{2s}{s^2-2s+5}\\ &\\ &\text {El denominador tiene raices complejas,}\\ &\text {completando cuadrados se intentará dejar}\\ &\text {como suma de dos transformadas, de la forma}\\ &\\ &C_1 \frac{p+\alpha}{(p+\alpha)^2+a^2}\implies e^{^-\alpha t}\cos(at)\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &C_2 \frac{a}{(p+\alpha)^2+a^2} \implies e^{^-\alpha t}sen(at)\\ &\\ &\\ &\\ &s^2-2s+5 = (s-1)^2-1+5 = (s-1)^2+2^2\\ &\\ &\\ &\\ &\overline{y}=\frac{2s}{s^2-2s+5}=\frac{2(s-1)+2}{(s-1)^2+2^2}=\\ &\\ &2·\frac{s-1}{(s-1)^2+2^2}+\frac{2}{(s-1)^2+2^2}\\ &\\ &Luego\\ &\\ &y(t)=2e^tcos(2t)+e^tsen(2t)\\ &\\ &\end{align}$$He realizado la comprobación y es la solución de la ecuación diferencial.
Y eso es todo.
