Curvas en el espacio.
hola valeroasm! Tengo los siguientes ejercicios y tengo un examen muy pronto y no entiendo como se resuelven, asi que necesito de tu ayuda para poder entenderlos. Solo necesito que me ayudes con los ejercicios 3,5,8 y 10. Si o es mucha molestia. Aquí te paso para que los puedas ver y me expliques.
muchas gracias.
1 respuesta
3) f: U de R ----> R^2, f(t) = (t,1)
El dominio es Dom f = R.
Para cualquier valor de t tenemos un valor de la función, la primera componente es la identidad y la segunda una constante, no hay ningún problema.
5) f: U de R ---> R^2, f(t) = (sqrt(1+t), sqrt(1-t))
Aquí tenemos el problema de que solo tienen raíz cuadrada real los números no negativos, para que la función esté definida deben ser no negativos los dos radicandos
1 + t >= 0 ==> t >= -1
1 - t >= 0 ==> t <= 1
esto lo cumplen los valores de t del intervalo [-1, 1]
Dom f = [-1, 1]
8) f: U de R --->R^3, f(t)=(ln(t^2+t+1) , ln(t^2 - t+1) , ln(t^2+1))
Con el logaritmo sucede parecido a la raíz, solo tienen logaritmo real los números estrictamente positivos, aquí no entra el 0 como en la raíz.
Debemos hallar los valores de t que hacen positivos los tres argumentos simultáneamente
t^2 + t + 1 > 0
t^2 - t + 1 > 0
t^2 + 1 > 0
Si te fijas un poco, el lado izquierda de la tercera es siempre positivo, vale cuanto menos 1 más una cantidad positiva.
Si te fijas un poco más el lado izquierdo de la primera es siempre positivo. Para ello tomarías la ecuación y la resolverías, dándote cuenta que el discriminante de la ecuación, es decir, el b^2 - 4ac es 1 - 4 = -3 negativo, con lo cual no hay raíces reales y la función es siempre positiva o siempre negativa, como para 0 tenemos que vale 1, entonces es siempre positiva.
Y con la segunda sucede lo mismo que con la primera, ya que ambas ecuaciones tienen el mismo discriminante -3, luego no hay raíces y como en 0 vale 1 es siempre positiva la parte izquierda.
Luego Dom f = R
10) f: U de R ---> R^4, f(t) = (arcsen t, arcsen 2t, arcsen 3t, arcsen 4t)
Arcsen x se lee el arco cuyo seno vale x. Luego x debe tener un valor entre -1 y 1
para arcsen t valdría el intervalo [-1, 1]
pero para arcsen 2t debe ser -1 <= 2t <=1 ==> -1/2 <= t <= 1/2 luego [-1/2, 1/2]
y para arcsen 3t vemos que el intervalo donde esta definida es [-1/3, 1/3]
y para arcsen 4t debe ser t € [-1/4, 1/4]
Como t debe cumplir las cuatro condiciones y los intervalos están cada uno metido en el anterior debe cumplir el último que es la intersección de los cuatro. El dominio es:
Dom f = [-1/4, 1/4]
Y eso es todo.
