Probar que la igualdad es verdadera para todo n perteneciente a N . Por inducción

Espera, que escribo la igualdad con el editor para enterarme mejor.

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}i^2=(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2}\\ &\\ &\text{probamos que es cierta para n=1}\\ &\\ &(-1)^21^2=(-1)^2 \frac {1·2}{2}\\ &\\ &1=1\\ &\\ &\text{La suponemos cierta para n}\\ &\\ &\sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1}i^2=(-1)^{n+1}(n+1)^2+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}i^2=\\ &\\ &(-1)^{n+2}(n+1)^2+(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2}=\\ &\\ &\\ &(-1)^{n+2}(n+1)\left[n+1-\frac n2  \right]=\\ &\\ &\\ &(-1)^{n+2}(n+1)\frac{2n+2-n}{2}=\\ &\\ &\\ &(-1)^{n+2}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y esa es la expresión de la fórmula para n+1, luego se cumple y queda demostrada la inducción.

La única parte un poco liosa es cuando se saca el factor común

(-1)^(n+2)(n+1)

Del primer término queda (n+1) y del segundo, aparte del n/2 hay que tener en cuenta que tiene signo opuesto al que tiene el factor común.

Y eso es todo.