Considera un triangulo rectángulo de lados a,b,h, (enteros). Demuestra que abh es múltiplo de 60

Dada una terna Pitagórica puede ser primitiva o múltiplo de una primitiva. Si demostramos que todas las primitivas son múltiplo de 60 tendremos que las otras también lo son.

Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

(2pq, p^2-q^2, p^2+q^2)

La demostración es un poco farragosa para escribirla, la tienes aquí

Ternas pitagóricas

Entonces el producto de los tres lados de un triangulo rectángulo será

2pq(p^2-q^2)(p^2+q^2)

Si dividimos por 2 bastará ver que es múltiplo de 30

pq(p^2-q^2)(p^2+q^2)

30=2·3·5

Veamos que el producto de los tres lados es múltiplo de 2, de 3 y de 5

p y q son primos entre si. Si un de ellos es par ya tendremos el factor 2 y si los dos son impares también lo son p^2 y q^2 y tanto su suma como diferencia serán pares y tendremos dos factores 2.

Ahora veamos que es múltiplo de 3.

Si p o q son múltiplos de tres ya está.

Y si no lo son tengamos en cuenta que un cuadrado módulo 3 de un no múltiplo de 3 tiene residuo 1

Si n = 3m + 1

n^2 = 9m^2 + 6m + 1 congruente con 1 (mod 3)

Si n = 3m + 2

n^2 = 9m^2 + 12 m + 4 congruente con 1 (mod 3)

Usaré el símbolo # para indicar la congruencia

Entonces

(p^2 - q^2) # (1 - 1) # 0 (mod 3)

Luego p^2-q^2 es múltiplo de 3

Y ahora veamos que es múltiplo de 5.

Si p o q son múltiplos de 5 ya está.

Y si no lo son vamos a investigar como son los cuadrados modulo 5

Si n = 5m+1

(n^2 = 25m^2 + 10m +1) # 1 (mod 5)

Si n = 5m +2

(n^2 = 25m^2 + 20m + 4) # 4 (mod 5)

Si n = 5m+3

(n^2 = 25m^2 + 30m + 9) # 9 # 4 (mod 5)

Si n = 5m+4

(n^2 = 25m^2 + 40m + 16) # 16 # 1 (mod 5)

Entonces

Si p^2 y q^2 tienen el mismo residuo tendremos

(p^2 - q^2) # 0 (mod 5) y es múltiplo de 5

Si p^2 y q^2 tienen distinto residuo uno será 1 y otro 4 con lo cual

(p^2+q^2) # (1+4) # 5 # 0 (mod 5) y es múltiplo de 5.

Luego ya hemos demostrado que

Pq(p^2-q^2)(p^2+q^2)es múltiplo de 2, 3 y 5

Luego

2pq(p^2-q^2)(p^2+q^2) es múltiplo de 4, 3 y 5

por lo tanto es múltiplo de 4·3·5 = 60

Y eso es todo.