Distribuciones de probabilidad bivariantes y multivariantes.

5.18)

Habrá que integrar la función de densidad con los límites [1, + infinito) para ambas variables.

$$\begin{align}&P(Y_1 \gt 1,\; Y_2 \gt 1)= \frac 18\int_1^{+\infty}\int_1^{+\infty}y_1e^{\frac{-(y_1+y_2)}{2}}dy_2dy_1=\\ &\\ &\frac 18\int_1^{+\infty}-2y_1 \left[ e^{\frac{-(y_1+y_2)}{2}} \right]_1^{+\infty}dy_1 =\\ &\\ &\\ &\frac 14\int_1^{+\infty}y_1e^{\frac{-(y_1+1)}{2}}dy_1 =\\ &\end{align}$$

¿Qué hemos hecho para merecer esto? Esa integral hay que resolverla por partes

$$\begin{align}&I=\frac 14\int_1^{+\infty}y_1e^{\frac{-(y_1+1)}{2}}dy_1\\ &\\ &\\ &u = y_1 \implies du = dy_1\\ &\\ &dv=e^{\frac{-(y_1+1)}{2}}dy_1 \implies v=-2e^{\frac{-(y_1+1)}{2}}\\ &\\ &\\ &I=\frac 12  \left(- \left[y_1e^{\frac{-(y_1+1)}{2}} \right]_1^{+ \infty}  +\int_1^{+\infty} e^{\frac{-(y_1+1)}{2}}dy_1 \right)=\\ &\\ &\\ &\frac 12 \left( e^{-1}-2\left[ e^{\frac{-(y_1+1)}{2}} \right]_1^{+ \infty} \right)=\\ &\\ &\\ &\frac 12(e^{-1}+2e^{-1})= \frac {3e^-1}{2}= \frac {3}{2e} \approx 0.5518191618\end{align}$$

Y eso es todo.