Ejercicio de estadística 05
Sea (X, Y) una v.a. Con función de densidad conjunta:
f(x,y)={(k/raíz(xy) ;0=x=1 ; 0=y=1 ;y=x
0 ; en el resto)
Calcula las funciones de densidad y de distribución marginal y condicional.
y diga si X e Y independientes.
Desconozco un libro de ello, son preguntas del profesor.
Vamos con ello.
Primero habrá que calcular k para que f sea una función de densidad. Para ello la integral doble sobre el recinto debe valer 1.
¡Creo que la función de densidad no está bien escrita!
Pones f(x,y)={(k/raíz(xy) ;0=x=1 ; 0=y=1 ;y=x
Seguramente has querido poner
f(x,y)=(k/raíz(xy) ; 0<=x<=1 ; 0<=y<=1 ;y<=x
Me arriesgo a hacerlo con esas modificaciones. Más útil a la hora de establecer los límites de integración, será unir las tres desigualdades en una:
f(x,y)={(k/raíz(xy) ; 0<=y<=x<=1; 0 en el resto
En las integrales dobles hay que tener mucho cuidado para asignar los límites a la variable que le corresponde y no a la otra, por eso voy a usar una notación donde aparecen ambas cosas justo detrás de cada integral.
Lo primero es calcular k para que la función sea de densidad, la integral doble deberá valer 1.
k${$1/sqrt(xy)dy con y€[0,x]}dx con x €[0,1] =
Entre llaves aparecerá la función primitiva pero sin evaluar entre los límites todavía
k${(2/x)sqrt(xy) con y€[0,x]}dx con x€[0,1] =
en la siguiente línea ya estará evaluada y tendremos la segunda integral
k$(2/x)sqrt(x^2)dx con x€[0,1] =
2k$dx con x€[0,1]
2kx con x€[0,1] = 2k
Y para que sea de densidad debe valer 1
2k = 1
k =1/2
Luego la función de densidad es
f(x,y) = 1/[2sqrt(xy)] ; Si 0<=y<=x<=1; 0 en el resto
El dominio donde la función de densidad no es nula es el triángulo inferior a la diagonal y=x en el cuadrado [0,1]x[0,1]. Viene bien hacer el dibujo para saber qué limites habrá que usar en las densidades marginales.
En la marginal respecto a X se integra la probabilidad a lo largo de la recta vertical que pasa por un punto x. El segmento vertical que entra dentro del dominio donde la densidad no es nula y pasa por el punto x tiene coordenadas y de 0 a x
f1(x) = $1/[2sqrt(xy)]dy con y€[0,x] =
sqrt(xy)/x con y€[0,x] =
sqrt(x^2)/x = 1
Luego la función de densidad marginal de X es
f1(x) = 1 si 0<=x<=1; 0 en el resto
Para la densidad marginal respecto a Y se integra una linea horizontal a altura y. El segmento que entra donde hay densidad no nula tiene coordenadas x desde y hasta 1
f2(y) =$1/[2sqrt(xy)]dx con x€[y,1] =
sqrt(xy)/y con x€[y,1] =
sqrt(y)/y - sqrt(y^2)/y =
[1/sqrt(y)] - 1
Luego la función de densidad marginal de Y es:
f2(y) = [1/sqrt(y)] -1 si 0<=y<=1; 0 en el resto
La función de distribución condicional de X dado Y es
F(x | y) = $[f(t,y)/f2(y)]dt con t€[x,1] =
${1/[2sqrt(ty)]} / {[1/sqrt(y)}-1} dt con t€[x,1] =
He hecho las simplificaciones en hoja aparte porque es muy pesado y poco entendible escribirlo con este editor
$dt/{[2sqrt(t)]·[1-sqrt(y)]} con t€[x,1] =
sqrt(t) / [1-sqrt(y)] con t€[x,1] =
1 / [1-sqrt(y)] - sqrt(x) / [1-sqrt(y)] = [1-sqrt(x)] / [1-sqrt(y)]
Luego
F(x | y) = [1-sqrt(x)] / [1-sqrt(y)] si 0<=y<=x<=1; y <> 1
<> se usa en varios lenguajes de programación para decir "distinto de"
La función de distribución de Y dado X es:
F(y | x) = $[f(x,t)/f1(x)]dt con t€[0,x] =
$dt/[2sqrt(xt)] con t€[0,x] =
sqrt(xt)/x con t€[0,x] =
sqrt(x^2) / x = 1
Finalmente, las variables son independientes si y solo si la función de densidad es el producto de las funciones de densidad marginales. Pero
f1(x)·f2(y) = [1/sqrt(y)] -1 distinto de 1/[2sqrt(xy)]
Luego las variables X e Y son dependientes.
Y eso es todo.
