Una demostración más:
Demostrar que la función f(x)= x/(x-1) es invertible en ¡ \{1} y f^1 (x)=x/(x-1)
1 Respuesta
El dominio ha quedado mal, creo que quieres decir R-{1}
Y la función inversa no puede ser esa, únicamente la función identidad es igual a su inversa.
Para que haya inversa debe ser un función inyectiva
Sean a,b € R-{1} tales que f(a) = f(b)
a/(a-1) = b/(b-1)
a(b-1) = b(a-1)
ab - a = ba - b
-a = -b
a=b
Luego es inyectiva en R-{1} y por lo tanto es invertible en R-{1}
en x=1 no es invertible porque no está definida al ser 0 el denominador.
Y la inversa se calcula despejando x en función de y.
Recordar que al haber inversa y=f(x) implica x=f^-1(y)
y = x/(x-1)
(x-1)y = x
xy - y = x
xy + x = y
x(y+1) = y
x= y/(y+1)
luego
f^-1(y) = y/(y+1)
cambiamos la y por x para expresar la función en función de x
f^-1(x) = x/(x+1)
Esa es la auténtica inversa, en el enunciado se habían equivocado.
