Ejercicio de dimensión de subespacios
hola valeroasm! Estoy viendo este tema de dimensión y bueno son mis primeros ejercicios y me surgen muchas dudas, podrías explicarme detenidamente con este ejercicio para ir entendiendo este tema.
aquí esta el ejercicio.
mil gracias.
1 respuesta
a) Los vectores de la forma (a, b, c, 0)
Podemos tomar estos tres vectores
(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0)
Son linealmente independientes porque son parte de la base canónica y son un sistema generador, todo vector de este subespacio se puede generar con esos tres. Luego la dimensión es 3.
b) Cada condición que se pone, siempre que sea deducible de las anteriores resta una dimensión al espacio vectorial. Vemos que las coordenadas c y d vienen predeterminadas por las de a y b, tomaremos dos vectores que generen a y b y tengan las coordenadas c y d a las que les obligan las condiciones. Tomamos
B={(1,0,1,1), (0,1,-1, 1)}
Son linealmente independientes y dado un vector de ese espacio será de la forma
(a, b, a-b, a+b)
que puede ponerse como esta combinación lineal de la base
a(1,0,1,1) + b(0,1,-1,1) = (a, b, a-b, a+b)
Luego la dimensión es 2
c) Una solo coordenada nos dice como son las otras.
El vector (1,1,1,1) sobra para generar todos los elementos de ese subespacio, dado un vector de el será de la forma (a, a, a, a) y será a(1,1,1,1)
Luego la dimensión es 1.
Y eso es todo.
del literal b) no entiendo com dedujiste que Cada condición que se pone, siempre que sea deducible de las anteriores resta una dimensión al espacio vectorial.que teorema o propiedad se aplica en esto puedes decírmelo, la verdad no entiendo ese tema de dimensión y cuando un subespacio tiene dimensión menor que el espacio vectorial que lo contiene? y puede un subespacio tener una dimensión mayor que la del espacio, estoy enredado. ayudame.
La frase está mal escrita se me olvido poner el "no"
Cada condición que se pone, siempre que NO sea deducible de las anteriores resta una dimensión al espacio vectorial.
Pues ese es un resultado que te lo enseñan en la teoría, lo tendrás como teorema o como conclusión de otro teorema o simplemente te lo dirán de pasada, pero es algo fundamental.
Un subespacio tendrá dimensión menor que el espacio que lo contiene cuando no sea el espacio total. Nada más que tu veas que hay un vector del espacio que no esta en el subespacio automáticamente hay que restarle al menos una dimensión.
No, un subespacio, no puede tener mayor dimensión que el espacio que lo contiene, como mucho puede tener su dimensión cuando el subespacio es todo el espacio.
