Problema de geometría analítica (mat. B)

Consiste en sustituir el valor de la recta en la circunferencia y ver el tipo de soluciones a través del discriminante de la ecuación de segundo grado

En la recta despejamos la y

y = mx+10

Y lo llevamos a la circunferencia:

x^2 + (mx+10)^2 - 6x - 22(mx+10) + 125 = 0

x^2 + m^2·x^2 + 20mx + 100 - 6x - 22mx - 220 + 125 = 0

(1+m^2)x^2 - (6+2m)x + 5 = 0

el discriminante es el b^2 - 4ac de las ecuaciones, en este caso es

(6+2m)^2 - 20(1+m^2) = 36 + 24m + 4m^2 - 20 - 20m^2 =

-16m^2 + 24m +16

Para saber cuando es positivo, negativo o cero solucionamos la ecuación

-16m^2 + 24m + 16 = 0

2m^2 - 3m + 2 = 0

$$m=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{4}=\frac{3\pm 5}{4}= 2 \;y\; -\frac 12$$

Y para ver que zonas son positivas y negativas podemos tomar el discriminante

-16m^2 + 24m + 16

Y calcular el valor en los intervalos, bien tomando un punto o por deducción

(-Infinito, -1/2) Es negativo, el limite en -infinito es -infinito por tener el coeficiente de m^2 negativo.

(-1/2, 2) Es positivo porque cambia el signo anterior

(2, +infinito) Es negativo porque vuelve a cambiar.

Ah, no sé si dije que cuando el discriminante es positivo hay dos respuestas, cuando es cero hay una y cuando es negatio no hay ninguna

Luego tenemos lo siguiente

Si m € (-1/2, 2) hay dos cortes

Si m = -1/2 o m = 2 hay un corte

En caso contrario no hay cortes.

Y eso es todo.