Desarrollo del ejercicio

Sea r el radio del sector circular y a el ángulo medido en radianes

El perímetro será

P = 2r + ar = r(2+a) = 10

Y el área de este sector será

A = (a/2)r^2

En principio el área es una función del radio y la amplitud, pero podemos hacerla de una sola variable ya que la igualdad del perímetro liga ambas variables

r(2+a)=10

r = 10/(2+a)

Si sustituimos esto en la función del área dependerá solo de la amplitud

A(a) = (a/2)[10/(2+a)]^2 = 100a / [2(2+a)^2] = 50a / (2+a)^2

Y para hallar el máximo vamos a derivar respecto a

A'(a) = [50(2+a)^2 - 50a·2(2+a)] / (2+a)^4 =

[50(2+a) - 100a] / (2+a)^3 =

(100 + 50a - 100a) / (2+a)^3 =

(100-50a) / (2+a)^3

Igualamos la derivada a 0 para calcular los extremos

(100 - 50a) / (2+a)^3 = 0

100 - 50a = 0

100 = 50 a

a = 2

En estos problemas no se calcula la segunda derivada para comprobar si es un máximo o mínimo, sabemos que con a = 0 el área será 0 mientras que aquí va a salir área positiva, luego si es el único extremo de l afunción será un máximo.

Luego el máximo se obtiene para

amplitud = 2 radianes

si queremos enterarnos, la amplitid en grados es

360 · 2 / (2pi) = 360 / pi = 114.59º

Y el radio que le corresponde es

radio = 10 / (2+a) = 10/4 = 5/2 = 2.5 m

Y eso es todo.