Ejercicio de álgebra lineal vectores y valores propios.

El vector nulo serviría para cualquier valor propio. Pero dentro de la definición de vector propio está que debe ser distinto del vector nulo, luego el vector nulo nunca es un vector propio.

|3-t    0    -5 |
|1/5  -1-t    0 | = 0
|1      1   -2-t|

operaré los signos para que cuantos menos "menos" mejor

(3-t)(1+t)(2+t)-1 -5(1+t) =

(3+3t-t-t^2)(2+t) - 1 - 5 - 5t =

(-t^2+2t+3)(2+t) - 6 - 5t =

-2t^2 + 4t + 6 - t^3 + 2t^2 +3t-6 - 5t =

-t^3 + 2t = 0

t=0 para empezar

-t^2+2 = 0

t=+-sqrt(2) los otros 2

Los valores propios son:

-sqrt(2), 0, sqrt(2)

Y ahora debemos hallar las soluciones de los tres sistemas donde sustituimos las tres t por el mismo valor propio cada vez

Para t=0 queda
3     0  -5 | 0
1/5  -1   0 | 0
1     1  -2 | 0
1     1  -2 | 0
3     0  -5 | 0
1/5  -1   0 | 0
1     1  -2 | 0 
0    -3   1 | 0
0   -6/5 2/5| 0
1     1  -2 | 0
0    -3   1 | 0
0 0 0 | 0

Queda un sistema indeterminado podemos escoger entre infinitas soluciones, cualquiera menos la de todo ceros. Hagamos z=3, entonces

-3y +3 = 0 ==> y =1

x +1 -2·3 = 0 ==> x = 5

Luego el vector propio para el valor propio 0 es (5, 1, 3)

En realidad sirve cualquier múltiplo salvo el (0,0,0) por ejemplo (1, 1/5, 3/5)

Te voy a dejar que los calcules tu para los otros dos valores propios, cuesta mucho trabajar aquí con los irracionales, se hace mucho mejor a mano. Es que no te lo han ido a poner un problema fácil precisamente.

Para t =-sqrt(2) debes solucionar

3+sqrt(2)   0            -5      | 0
1/5        -1+sqrt(2)     0      | 0
1              1      -2+sqrt(2) | 0

y para t=sqrt(2) otro donde los +sqrt(2) serán -sqrt(2)

Te dejo las soluciones para que las compruebes

para t=sqrt(2) es (5, -sqrt(2)-1, sqrt(2)+3)

para t=-sqrt(2) es (5, sqrt(2)-1, -sqrt(2)+3)

Recuerda que no tiene porque darte eso exactamente, pero sí algo proporcional.

Y eso es todo.