Aplicación del criterio de la SEGUNDA derivada (4)

Calculamos los ceros de la derivada primera.

$$\begin{align}&f(x)=ln\left(\frac{x^2}{1+x}  \right)\\ &\\ &\\ &f'(x) = \frac{1}{\frac{x^2}{1+x}}\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{2x+2x^2-x^2}{x^2(1+x)}=\frac{x+2}{x+x^2}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &f´´(x)=\frac{x^2+x-(x+2)(2x+1)}{(x^2+x)^2}=\\ &\\ &\frac{x^2+x-2x^2-x-4x-2}{(x^2+x)^2}=\\ &\\ &\frac{-x^2-4x-2}{(x^2+x)^2}\\ &\end{align}$$

La derivada primera es cero cuando lo es el numerador

x+2=0

x=-2

Y el valor de la derivada segunda en -2 es

(-4+8-2)/4 = 2/4 que es positivo

Luego en x=-2 la función tiene un mínimo cuyo valor es

ln(4/(1-2)) = ln(-4)

Ah, pues no, no tiene nada porque en -2 no está definida la función

La función está definida en (-1, 0) U (0, +oo) y no tiene extremos relativos. Tampoco absolutos.

Y eso es todo.