La integral de la función

Esta es la gráfica. Debemos dividir la integral en dos trozos y para ello hay que calcular el punto de intersección

senx = sen(2x)

senx = 2senx·cosx

senx - 2senx·cosx = 0

senx(1-2cosx) = 0

Esto nos da dos soluciones la

senx=0 ==> x=0 que ya conocíamos por la gráfica

1-2cosx=0

2cosx=1

cosx = 1/2

x=pi/3

Y pi/3 es el punto de intersección donde hay que cambiarla integral a usar. A la izquierda la función superior es sen(2x) y a la derecha es senx

$$\begin{align}&A=\int_0^{\frac{\pi}{3}}(sen(2x)-senx)dx+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(senx-sen(2x))dx=\\ &\\ &\left[-\frac{\cos(2x)}{2}+cosx\right]_0^{\frac{\pi}{3}}+\left[-cosx+\frac{\cos(2x)}{2}\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}=\\ &\\ &-\frac{\cos(\frac{2\pi}{3})}{2}+\cos\,\frac{\pi}{3}+\frac{\cos\,0}{2}-\cos\,0-\cos \frac{\pi}{2}+\frac{\cos \pi}{2}+\cos\frac{\pi}{3}-\frac{\cos(\frac{2\pi}{3})}{2}=\\ &\\ &\frac 14+\frac 12+\frac 12-1-0-\frac 12+\frac 12+\frac 14=\\ &\\ &\frac 14+\frac 12+\frac 12-1+\frac 14=\frac 14 + \frac 14 =\frac 12\end{align}$$

Y eso es todo.