La geometría de los números complejos
Dados los números complejos Z1 = 1 + i y Z2 = -1 -i hallar el número Z3 tal que los puntos Z1, Z2, Z3 forman un triángulo equilátero.
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Este es un problema de geometría disfrazado de números complejos. Con el dibujo se entenderá todo. Dibujaremos los números complejos que son equivalentes a los puntos (1,1) y (-1,-1). Luego el lado que determinan que es la bisectriz de los ejes y la mediatriz que es la otra bisectriz de los ejes.
Sobre los puntos A y B habrá que dibujar ángulos de 60º. En el dibujo lo he hecho hacia el punto superior C pero lo mismo se hace haciael punto D.Y ahora hay que hacer unas pocas cuentas.La distancia AC será igual a AB, la cual essqrt(2^2+2^2) = 2sqrt(2)La distancia OC seráOC = AC·sen(60º) = 2sqrt(2)·sqrt(3)/2 = sqrt(2)sqrt(3)Y las coordenadas (x,y) del punto C son iguales en módulo y su valor es|x| = y = OC · cos(45º) = sqrt(2)·sqrt(3)·sqrt(2) / 2 = 2sqrt(3)/2 = sqrt(3)Como C está en el segundo cuadrante son coordenadas sonC=(-sqrt(3), sqrt(3))Que representan al número complejo- sqrt(3) + i·sqrt(3)Y el punto D es el simétrico respecto a O y es el número complejosqrt(3) - i·sqrt(3)
Y eso es todo.
