Sobre transformada de Laplace
Hola, necesito saber como se hace el siguiente problema:
Sabiendo que L{ e^t f(t) } = 1 / (s^2 - 2s + 2), calcular L{ t f(t) }.
Me es urgente y puntúo al máximo.
Gracias!!.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El primer teorema de traslación dice:
Si L{g(t)} = G(s) y a es un número real, entonces L{e^(at)·g(t)}=G(s-a)
Si hacemos g(t) =e^t·f(t) y G(s) = 1/(s²-2s+2) y aplicamos el teorema con a=-1 tendremos
L{e^(-1t)·e^t·f(t)} = 1/[(s+1)² -2(s+1)+2]
L{f(t)} = 1 / (s² + 2s + 1 - 2s - 2 + 2) = 1 / (s²+1)
Y ahora aplicamos la transformada de la derivada.
$$\begin{align}&\mathscr L\{g(t)\} = G(s) \implies \mathscr L\{t^ng(t)\} = (-1)^n·\frac{d^nG(s)}{ds^n}\\ &\\ &\text{Luego en concreto}\\ &\\ &\mathscr L\{t·f(t)\}=-F'(s)\\ &\\ &\text {y en nuestro caso}\\ &\\ &\mathscr L\{t·f(t)\}=-\left(\frac{1}{s²+1} \right)'=\frac{2s}{(s²+1)²}\\ &\\ &\text{que si lo prefieres no factorizado es}\\ &\\ &\mathscr L\{t·f(t)\}=\frac{2s}{s^4+2s²+1}\end{align}$$
