Criterio de concavidad (2)

Hay que calcular la derivada segunda

$$\begin{align}&f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}\\ &\\ &\\ &\\ &f´(x) = \frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}\\ &\\ &\\ &f´´(x)=\frac{4(x^2+1)^2-4x·2(x^2+1)2x}{(x^2+1)^4}=\\ &\\ &\\ &\frac{4(x^2+1)-16x^2}{(x^2+1)^3}=\\ &\\ &\\ &\frac{-12x^2+4}{(x^2+1)^3}\end{align}$$

El denominador es siempre positivo ya que x^2+1 es positivo. Luego el signo depende por completo del numerador

-12x^2+4 = 0

-12x^2=-4

x^2 = 1/3

x = +- sqrt(1/3)

Esta vez el signo de la derivada segunda es el de una parábola con coeficiente director negativo, luego tiene forma de U invertida. Y entonces es negativa en los extremos y positiva en el espacio entre las raíces. De esto se deduce

Es cóncava hacia abajo en (-oo, -sqrt(1/3)) U (sqrt(1/3), +oo)

Es cóncava hacia arriba en (-sqrt(1/3), sqrt(1/3))

Y eso es todo.