Ejercicio urgente de calculo vectorial

El cómo se llega a esa expresión para w no puedo decírtelo, pertenece al campo de la Física y no lo he estudiado, en tu libro aparecerá.

Lo que si es sencillo es comprobar que esa expresión es una solución de la ecuación diferencial. Es bien sencillo, basta usar la regla de la cadena al derivar.

$$\begin{align}&w(x,t) =\frac 12[f(x-ct)+f(x+ct)]\\ &\\ &\frac{\partial w(x,t)}{\partial t}=\frac 12[f´(x-ct)·(-c)+f´(x+ct)·c]\\ &\\ &\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial t^2}=\frac 12[c^2f´´(x-ct)+c^2f´´(x+ct)]=\\ &\\ &\frac{c^2}{2} [f´´(x-ct)+f´´(x+ct)]\\ &\\ &\\ &\frac{\partial w(x,t)}{\partial x}=\frac 12[f´(x-ct)+f´(x+ct)]\\ &\\ &\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial x^2}=\frac 12[f´´(x-ct)+f´´(x+ct)]\\ &\\ &\text {de donde se deduce que}\\ &\\ &\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial t^2}=c^2 \frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial x^2}\end{align}$$

Y eso es todo.