Resolver las siguientes identidades trigonometricas

Debemos usar las fórmulas de la tangente de la suma y resta de ángulos

$$\begin{align}&tg(a+b) =\frac{tga+tgb}{1-tga·tgb}\\ &\\ &\\ &tg(a-b) =\frac{tga-tgb}{1+tga·tgb}\\ &\\ &\end{align}$$

Aplicándolas al ejercicio propuesto es:

$$\begin{align}&\frac{tg45º + tgx}{1-tg45º·tgx}-\frac{tg45º-tgx}{1+tg45º·tgx}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{1+tgx}{1-tgx}-\frac{1-tgx}{1+tgx}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{(1+tgx)^2-(1-tgx)^2}{(1-tgx)(1+tgx)}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{1+2tgx+tg^2x-1+2tgx-tg^2x}{1-tg^2x}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{4tgx}{1-tg^2x}= \frac{\frac{4senx}{cosx}}{1-\frac{sen^2x}{\cos^2x}}=\\ &\\ &\\ &\frac{\frac{4senx}{cosx}}{\frac{\cos^2x-sen^2x}{\cos^2x}}=\frac{4senx·\cos^2x}{cosx(\cos^2x-sen^2x)}=\\ &\\ &\\ &\frac{4senx·cosx}{\cos^2x-sen^2x}= \frac{2sen(2x)}{\cos(2x)}=2tg(2x)\\ &\\ &\end{align}$$

El enunciado no lo tenías correcto aparecía un símbolo de potencia en la parte derecha, pero no es una tangente al cuadrado sino una tangente de 2x

Y eso es todo.