Demostración vector ortogonal.

Sea f: I de R ---> R^n un camino parametrizado por la longitud del arco. Demuestre que f ''(s) es ortogonal a f '(s) para todo s € I

Si f está parametrizada por la longitud del arco quiere decir que la longitud del arco entre 0 y s es s

$$\begin{align}&\int_0^s ||f'(z)||dz=s\\ &\\ &\text{derivando y usando el teorema fundamental del cálculo}\\ &\\ &||f'(s)|| = 1\\ &\\ &\text{luego el producto escalar consigo mismo es 1}\\ &\\ &f'(s)*f'(s) = 1\\ &\\ &\text{Uso * para el producto escalar para que no}\\ &\text{se confunda con el producto normal.}\\ &\text{Derivando con la fórmula de derivación del producto escalar}\\ &\\ &f''(s)*f'(s) + f'(s)*f''(s)=0\\ &\\ &2[f'(s)*f''(s)]=0\\ &\\ &f'(s)*f''(s) = 0\end{align}$$

Luego f '(s) es perpendicular a f ''(s) ya que su producto escalar es 0. Y eso sucede para cualquier s donde esté definido f.

Y eso es todo.