El volumen será el área de la base por la altura.
Como la base es cuadrada, suponiendo que z es la longitud de un lado, el área de la base será z^2
Ahora llamemos h a la altura
Como el volumen debe ser 10 pies tendremos
h·z^2 = 10 ==>
h = 10/z^2
Con esto tenemos todas las medidas en función del lado de la base z.
Ahora el área de cartón usada será
Área = 2 veces la base + 4 veces los laterales =
2z^2 + 4zh = 2z^2 + 4z(10/z^2) = 2z^2 + 40/z
Hemos logrado expresar la superficie del cartón usado en función únicamente del lado de la base.
Vamos ahora a hallar el máximo de esa superficie. Para ello, como siempre, derivamos e igualamos a cero.
Área '(z) = 4z - 40/z^2
4z - 40/z^2 = 0
ponemos denominador común z^2
(4z^3 - 40)/z^2 = 0
4z^3 - 40 = 0
4z^3 = 40
z^3 = 10
z = 10^(1/3) = 2,1544347 pies
Lo que resulta interesante es que te fijes que la altura era
h= 10/z^2 = 10 / 10^(2/3) = 10^(1-2/3) = 10^(1/3)
Es decir, h = z luego la figura es un cubo, todas las aristas de igual longitud.
Y si quieres calcular el cartón usado es
2z^2 + 40/z = 2·10^(2/3) + 40/10^(1/3)
Poniendo denominador común 10^(1/3)
= (2·10 + 40)/10^(1/3) = 60/10^(1/3) = 60/2,1544347 = 28,849533 pies^2
Bueno, el resumen. El máximo volumen se obtiene cuando tiene forma de cubo, con cada lado raíz cubica de 10 pies.
Y eso es todo.