Problema de calculo área y volumen..

Una compañía fabrica una caja de cartón de modo que la base y la tapa son cuadrados. Si la caja debe contener 10 pies cúbicos, hallar las dimensiones que minimicen la cantidad total de cartón( área superficial) necesaria para hacerla. 

1

1 respuesta

Respuesta
1

El volumen será el área de la base por la altura.

Como la base es cuadrada, suponiendo que z es la longitud de un lado, el área de la base será z^2

Ahora llamemos h a la altura

Como el volumen debe ser 10 pies tendremos

h·z^2 = 10 ==>

h = 10/z^2

Con esto tenemos todas las medidas en función del lado de la base z.

Ahora el área de cartón usada será

Área = 2 veces la base + 4 veces los laterales =

2z^2 + 4zh = 2z^2 + 4z(10/z^2) = 2z^2 + 40/z

Hemos logrado expresar la superficie del cartón usado en función únicamente del lado de la base.

Vamos ahora a hallar el máximo de esa superficie. Para ello, como siempre, derivamos e igualamos a cero.

Área '(z) = 4z - 40/z^2

4z - 40/z^2 = 0

ponemos denominador común z^2

(4z^3 - 40)/z^2 = 0

4z^3 - 40 = 0

4z^3 = 40

z^3 = 10

z = 10^(1/3) = 2,1544347 pies

Lo que resulta interesante es que te fijes que la altura era

h= 10/z^2 = 10 / 10^(2/3) = 10^(1-2/3) = 10^(1/3)

Es decir, h = z luego la figura es un cubo, todas las aristas de igual longitud.

Y si quieres calcular el cartón usado es

2z^2 + 40/z = 2·10^(2/3) + 40/10^(1/3)

Poniendo denominador común 10^(1/3)

= (2·10 + 40)/10^(1/3) = 60/10^(1/3) = 60/2,1544347 = 28,849533 pies^2

Bueno, el resumen. El máximo volumen se obtiene cuando tiene forma de cubo, con cada lado raíz cubica de 10 pies.

Y eso es todo.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas