Estadística - Ejercicio Número 01

Sea (X, Y) una v.a. con función de densidad conjunta:
f(x, y) = 1 Si |y|<x; 0<x<1
0; en el resto

Determina:
1.1. Si son independientes.
1.2. La covarianza.

No me vendría mal si tuvieras otro pdf con los apuntes anteriores, de cuando estudiasteis las funciones de densidad marginales, la dependencia de las variables, etc

1.1)

Para determinar si son independientes tendremos que calcular las funciones de densidad marginales

fx(x) = $f(x,y)dy entre(-oo y +oo)

Dado un x€(0, 1), f(x, y) es distinto de cero cuando |y| < x, es decir, cuando y€(-x, x)

fx(x) = $dy en (-x,x) = y en (-x,x) = x-(-x) = 2x si 0<x<1; 0 en el resto

fy(y) = $f(x,y)dx entre (-oo y +oo)

Dado un y con |y|<1, x debe estar en el intervalo (|y|,1)

fy(y) =$dx en (|y|,1) = x en (|y|,1) = 1- |y| si -1<y<1; 0 en el resto

De ninguna manera se cumple f(x,y)=fx(x)·fy(y) = f(x,y) por ejemplo

f(1/2, 1/4) = 1

fx(1/2) = 1

fy(1/4) = 1-1/4 = 3/4

fx(1/2)·fy(1/4) = 1·3/4 = 3/4

1.2)

La covarianza es:

Cov(X,Y) = E[XY] - E[Y]·E[X]

E[XY] = $[xydy con y€(-x, x)]dx con x€(0, 1) =

$[(xy^2)/2 con y€(-x, x)]dx con x€(0, 1) =

$[(x^3)/2 - (x^3)/2]dx con x€(0, 1) =

$0dx con x€(0,1) = 0

E[Y] = $[ydy con y€(-x, x)]dx con x€(0, 1) =

$[(y^2)/2 con y€(-x, x)]dx con x€(0, 1) =
$[(x^2)/2 - (x^2)/2]dx con x€(0, 1) =
$0dx con x€(0,1) = 0

Y ya no es necesario calcular E[X]

Cov(X,Y) = 0 - 0·E[X] = 0

Son variables incorreladas, pero no independientes.

Y eso es todo.