Análisis Matemático, Número Reales
Sean A y B subconjuntos no vacíos de los Reales,acotados superiormente, y sea
C= A+B :( a+b: a pertenece A, b pertenece B)
1. Probar que: ( A+B) es diferente de vacío
2. Probar que :( A+B) es acotado superiormente
3. Probar que: sup C= sup A+ sup B
GRACIAS DE ANTEMANO,
1 Respuesta
1. A+B es distinto del vacío porque A y B son distintos del vacío.
2. Sea a = sup A, b= sup B. Si z pertenece a C, entonces z=x+y, donde x pertenece a A e y pertenece a B, así que z=x+y <= a+b. Por lo tanto, a+b es una cota superior de C.
3. Así que C tiene un supremo, digamos c = sup C. Está claro que c <= a+b.. Para demostrar la desigualdad contraria, sea e>0 cualquiera. Entonces hay un x en A y un y en B tales que a-e < x y b-e < y. Sumando estas últimas dos desigualdades obtenemos a+b-2e < x+y <= c. De este modo, a+b < c+2e para todo e>0, así que a+b <= c. Por tanto, a+b=c.
