Limites de funciones

Las definiciones de límite son:

$$\begin{align}&\lim_{x\to x_0}f(x) =L \iff\\ &\forall\epsilon \gt0, \exists\delta\gt0:\; 0\lt|x-x_0|\lt; \delta \rightarrow|f(x)-L|\lt\epsilon\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &lim_{h\to 0}f(x_0+h)=L \iff\\ &\forall\epsilon\gt0, \exists\delta\gt0 :0\lt|h|\lt\delta\rightarrow| f(x_0+h)-L|\lt \epsilon\end{align}$$

Demostraremos que el primero implica el segundo

$$\begin{align}&\text{Supongamos }\lim_{x\to x_0}f(x)=L\\ &\\ &dado\; \epsilon \gt 0\; tomamos\; el\; \delta\gt0 \text{ que hace que si}\\ &\\ &0\lt|x-x_0|\lt;\delta \rightarrow|f(x)-L|\lt \epsilon\\ &\\ & \text{entonces si }0\lt|h|\lt\delta\text{ tendremos}\\ &\\ & 0\lt|h|=|x_0+h-x_0|\lt \delta\\ &\\ &\text{luego esos puntos }x_0+h=x \text{ cumplen}\\ &\\ & 0\lt|x-x_0|\lt\delta\\ &\\ &\text{y por tanto se cumple}\\ &\\ &|f(x)-L|\lt\epsilon\\ &\\ &\text{como esos puntos son }x=x_0+h\\ &\\ &|f(x_0+h)-L|\lt;\epsilon\implies \lim_{h\to 0}f(x_0+h)=L\\ &\end{align}$$

Y ahora demostraremos que el segundo implica el primero, pero esta vez lo haremos por reducción al absurdo, a lo mejor se ve más claro.

$$Sea \lim_{h\to 0}f(x_0+h)=L\\ \\ \text{y supongamos que }\lim_{x\to x_0}f(x)\neq L\\ \\ \text {entonces existe un }\epsilon\gt0 \text { tal que}\\ \\ \forall \delta\gt 0,\exists x \;con\;0\lt|x-x_0|\lt;\delta\\ \\ \text{tal que }|f(x)-L|\ge\epsilon\\ \\ hagamos\; x=x_0+h\\ \\ \text{entonces lo anterior queda traducido a}\\ \\ \exists \epsilon\gt 0 \text{ tal que}\\ \\ \forall \delta\gt0, \exists h\neq0\; con\;|x_0+h-x_0|=|h|\lt;\delta\\ \\ \text{tal que } |f(xo+h)-L|\ge \epsilon  \implies\\ \\ \lim_{h\to 0}f(x_0+h)\neq L$$

Lo cual es absurdo porque contradice la hipótesis de partida. Luego lim x->xo de f(x)=L