Ejercicio desigualdad con valor absoluto CORREGIDO

Haré lo mismo que en el otro, permíteme que ahorre en razonamientos, los puedes encontrar en el otro.

Se divide en dos desigualdades

1) z - 2/(z-1) > 2

2) z - 2/(z-1) < -2

Resolvemos la 1

1)

z-2 >2/(z-1)

1a) Si z-1>0 se conserva el signo

(z-2)(z-1) > 2

z^2-z-2z+2>2

z^2-3z > 0

Las soluciones son z=0 y z=3

En (-oo, 0) se cumple

En [0, 3] no se cumple

En (3, +oo) se cumple

Como la suposición era

z-1>0  ==> z>1

Luego el primer intervalo no nos sirve y la solución para 1a) es

(3, +oo)

1b) Si z-1< 0 se cambia el signo

(z-2)(z-1)<2

Todas las operaciones son iguales y el intervalo válido es

(0,3)

que unido a z-1<0 ==> z<1 nos da esta solución

(0,1)

Ahora la segunda desigualdad:

2) z - 2/(z-1) < -2

z+2<2/(z-1)

2a) Si z-1 > 0

(z+2)(z-1) < 2

z^2 - z + 2z - 2 < 2

z^2 + z - 4 < 0

Las soluciones son

z = [-1+-sqrt(1+16)]/2 = [-1+-sqrt(17)/2]

z1 = [-1-sqrt(17)]/2 = -2,56...

z2 =[-1+sqrt(17)]/2 = 1,56...

En (-oo,-2,56...) es positiva

En (-2,56..., 1,56...) es negativa

En (1,56...,  +oo) es positiva

Luego sirve el intervalo(-2.56..., 1.56...)

Pero la hipótesis decía  z-1 > 0 ==> z > 1

Luego el intervalo solución para 2a) es

(1, 1.56...)

2b) Si z-1 < 0 se invierte la igualdad

(z+2)(z-1)>2

El proceso es idéntico al anterior, solo que ahora los intervalos que sirven son

(-oo,-2,56...) y (1,56..., +oo)

Y como la hipótesis es z-1<0 ==> z < 1 solo sirve el primero y la solución para 2b es

(-oo, -2.56)

Y la unión puesta en orden de las 4 respuestas es:

(-oo, -2.56...) U (0,1) U (1, 1.56...) U (3, +oo)

Para ser estrictos donde pone -2,56... pones [-1-sqrt(17)]/2

Y donde pone 1.56 pones [-1+sqrt(17)]/2

Y esta es al gráfica que sirve para comprobarlo. En realidad estos problemaS tendría que valer el resolverlos con la gráfica y punto.

Y eso es todo.