Pregunta de limites infinitos 1

Esta pregunta me la hice un amigo y no supe como explicarla, creo que aprendí bien el tema de limites al infinito.
Problema:
Usando la definición de limites, demostrar.
a) lim (z tiende a 4 por la derecha)[((17-(z^2))^(1/2))/(z-4)]=+oo
b) En la parte (a) un delta =1/m   ( )  ... (V o F)
En esta parte solo te pido que resuelvas la parte b.
Un saludo.

1 respuesta

Respuesta
1
La parte a es correcta, se tiende a 1/0 por la derecha y es +oo
b) La definición de límite por la derecha = +oo dice que para todo m > 0 existe un delta > 0 tal que si z € Dom f y 0 < z -4 < delta entonces f(z) > m
Supongamos delta = 1/m
Tomemos z cumpliendo
0< z-4 < 1/m
invirtiendo se invierten los signos
1/(z-4) > m
multiplicamos por (17-z^2)^(1/2)
f(z) = (17-z^2)^(1/2) / (z-4) > m (17- z^2)^(1/2)
Pero cuando z toma valores mayores que 4 y menores que máx(4+1/m, sqrt(17)) tenemos
(17-z^2)^(1/2) < 1
Por lo que no podemos concluir f(z) > m. Tomando z suficientemente cerca al extremo derecho del intervalo no se cumple.
No sé si era esto todo lo que querías.
No creo que quedara muy claro lo que quería decir, el resumen es que el delta=1/m no es válido. Hay algunos z en el intervalo 0 < 4-z < delta donde f(z) <m y abría que tomar otro delta más pequeño.
Se me ocurre por ejemplo:
Voy a hacer que
(17-z^2)^(1/2) > 1/2
Voy operando
17-z^2 > 1/4
z^2 < 17-1/4 = 67/4
z < sqrt(67)/2
z-4 < sqrt(67)/2 - 4 = (sqrt(67)-8)/2
Tomo delta1 = (sqrt(67)-8)/2
y tomo delta2 = 1/(2m)
Entonces tomo como delta definitivo min(delta1, delta2)
delta = min(1/(2m), (sqrt(67)-8)/2)
Esta misma estrategia podría usarse con cualquier número a positivo
delta = min(1/(am), (sqrt(17a^2-1)-4a)/a)
Con un delta así tendremos:
Por un lado
f(z) = (17-z^2)^(1/2)/(z-4) > (17-z^2)^(1/2)·am
por otro
z - 4 < (sqrt(17a^2-1)-4a)/a
z < (sqrt(17a^2-1)-4a)/a+4 = sqrt(17a^2-1)/a
z^2 < (17a^2-1)/(a^2)
-z^2 > (1-17a^2)/a^2
17 - z^2 > 17 + (1-17a^2)/a^2 = 1/a^2
(17- z^2)^(1/2) > 1/a
(17 - z^2)^(1/2)·am > am/a = m
Y ahora volvemos a la desigualdad que habíamos dejado aparcada cuando decíamos por un lado y podemos concluir
f(z) = (17-z^2)^(1/2)/(z-4) > (17-z^2)^(1/2)·am > m
Luego ese delta tan complejo nos sirve para demostrar el límite.
Puedes intentar otro tipo de delta que no sea el mínimo de dos deltas resolviendo la inecuación
(17-z^2)^(1/2) / (z-4) > m
la solución de la ecuación daba algo tan complicado como
z = {8m^2 +- sqrt[64m^2 - 4(m^2+1)(4m^2-17)]} / (2m^2+2)
Y supongo que cualquier delta comprendido entre las dos raíces serviría, pero no me he propuesto demostrarlo.
Y eso es todo.
Me dices que no te has propuesto en demostrarlo, entonces proponte, decide y hazlo ... También quisiera que desarrolles el problema de la parte a en caso general de un delta, y con la gráfica, asi como en los otros problemas de limites enviados.
Saludos.
Conformate con lo que he hecho
No lo tomes a mal, tu respuesta esta muy bien, sino me mencionabas una proposición con la cual tengo una inquietud, y también el problema a que veo que no  quieres hacer debido a que esta pregunta esta cargada.
Saludos.

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