Preguntas de álgebra (4)

Los productos notables de polinomios son ciertos productos que son muy habituales y que es conveniente conocer el resultado de memoria en lugar de efectuar la multiplicación para agilizar la resolución de problemas. Los hay más notable y menos notables. En primera línea estarían estos tres

1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

por ejemplo

(x^2 + 2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2

2) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^3

Este es una variante del anterior, pero es mejor considerarlo como distinto y no pararse a deducirlo del anterior.

ejemplo

(3xy - 4yz)^2 = 9x^2y^2 - 24xy^2z + 16y^2z^2

3) (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

ejemplo

(4x^2 + 2x)(4x^2 - 2x) = 16x^4 - 4x^2

Y luego habria otros menos usados y más complicados

4) (a+b)(a+c) = a^2 + a(b+c) + ac

La verdad es que no lo tengo en la memoria, cada vez que se me plantea tengo que deducirlo. Puesto al revés sirve para hallar las raíces de algunas ecuaciones sencillas de grado 2.

x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)

con lo cual las raíces serían -1 y -2

5) (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)

Y si en vez de un trinomio fueran 4 o más la manera es la misma, la suma de los cuadrados y todas las combinaciones de dos términos multiplicadas por 2

(x - 2y + 3)^2 = x^2 + 4y^2 + 9 - 4xy + 6x - 12y

6) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Este se suele acordar uno de memoria e incluso el de (a+b)^4 pero para exponentes mayores se debe conocer y aplicar la fórmula del binomio de Newton

(3x^3+x^2)^3 = 27x^9 + 27x^8 + 9x^7 + x^6

7)

$$a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+···+b^{n-1})$$

Es la igualdad ciclotómica, muy útil para ciertos problemas.

Y lo dejo aquí, no se si te habrán enseñado más productos notables, pero si fueran muchos ya dejarían de ser notables.