Como se resuelve esta operación (n r-1)+(n r)=(n+1 r)

Hay que poner el valor de los números combinatorios que como sabemos es

$$\begin{align}&\binom ab=\frac{a!}{b!(a-b)!}\\ &\\ &\text{y queda así}\\ & \\ &\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}+ \frac{n!}{r!(n-r)!}=\frac{(n+1)!}{r!(n+1-r)!}\\ &\\ &\\ &\text{Vamos a dividir todo por}\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\\ &\text{que es el factor común de los 3 términos}\\ &\\ &\frac{1}{n-r+1}+ \frac{1}{r}=\frac{n+1}{r}\\ &\\ &\frac{1}{n-r+1}=\frac{n}{r}\\ &\\ &\\ &n(n-r+1) = r\\ &\\ &n^2-nr +n = r\\ &\\ &n^2+n = nr+r\\ &\\ &n(n+1) = r(n+1)\\ &\\ &n= r\end{align}$$

Luego esa igualdad se cumple cuando n= r

Y es fácil de comprobarlo, si r = n la expresión es

(n n-1) + (n n) = (n+1 n)

y esos valores se calculan inmediatamente dando

n + 1 = n+1

Luego está bien.

Y eso es todo.