Demostraciones de funciones continuas 2
Supón que se tiene una colección de subconjuntos de un espacio métrico, Aj (con j en un conjunto de índices J).
1.- Sea f+, f- :B-->R³, donde B = {(x, y) que pertenece a R² |x² + y² <= 1} (el círculo de radio 1), dadas por: f+(x) = sqrt(1 - x² - y²) y f-(x) = - sqrt(1 - x² - y²).
a).- Demuestra que las superficies: f+(B) y f-(B) son conjuntos conexos.
b).- Interpreta gráficamente.
1 Respuesta
En el ejercicio anterior demostrábamos que el círculo de radio r es conexo. Luego B que es un círculo de radio 1 es conexo.
Esas funciones f+ y f- están mal definidas, tal como está escrito no son funciones en R3 sino en R, supondré que quieres decir:
f+: B ---> R3
(x,y) ---> (x, y, sqrt(1-x^2-y^2))
f-: B ---> R3
(x,y) ---> (x, y, -sqrt(1-x^2-y^2))
Son continuas y por lo tanto las imágenes por ellas del conexo B que son unas superficies en R3 serán conjuntos conexos.
b) Gráficamente las superficies son la primera la semiesfera superior de la esfera unidad y la segunda la semiesfera inferior.
Y eso es todo.
