Ahora si.
Pues el estudio se hace como siempre poniendo la matriz de las coeficientes seguida de los resultados e intentando conseguir filas con todo ceros.
1 -1 4a^2 | -2
1 0 a+3 | 0
2 -1 a+7 | -2a
La forma habitual ya sabes que sería restar la primera a la segunda, restar la primera multiplicada por 2 a la tercera y restar segunda al tercera. Pues todo eso lo dejamos porque se puede hacer todo en en paso. Sumar primera con segunda y restarlo a la tercera
1 -1 4a^2 | -2
1 0 a+3 | 0
0 0 a+7-4a^2-a-3 | -2a+2
Y no puede simplificarse más, el hecho de que no hayamos hecho el cero en la primera columna de la segunda fila carece de importancia, si lo queremos hacer lo hacemos, pero entonces tendremos el 1 en la segúnda columna y no habremos ganado nada. La primera fila y segunda es imposible que sean proporcionales, luego siempre haberá rango 2 al menos.
Veamos para que valores tenemos cero en el elemento tercero de la fila tercera
a+7-4a^2-a-3 = 0
-4a^2+4 = 0
4a^2 = 4
a^2 = 1
a= 1 y -1
Luego para esos dos valores el rango de la matriz de coeficientes es 2, para cualquier otro es 3 y el systema es determinado compatible.
Ahora examinamos el rango de la matriz ampliada cuando toma esos valores.
Si a= 1 el elemento cuarto de la fila tercera será
-2·1+2 = 0
Luego el rango de la matriz ampliada también será 2 y el systema será compatible indeterminado
Y si a=-1 tendremos que ese elemento cuarto será
-2(-1)+2 = 2+2 = 4
Entonces la matriz ampliada tendrá rango 3 y la de coeficientes 2, es entonces cuando el sistema es incompatible.
Resumiendo:
Si a=1 es compatible indeterminado. Dependiente de un parámetro.
Si a= -1 es incompatible
En cualquier otro caso es compatible determinado.
Para resolver para a=0 y 1 tomaremos la expresión ya simplificada que hemos hecho de la ecuación y sustituimos a. Bueno no la habíamos dejado simplificada del todo, el tercer elemento de la tercera fila ya sumado es -4a^2+4
1 -1 4a^2 | -2
1 0 a+3 | 0
0 0 -4a^2+4 | -2a+2
Con a=0
1 -1 0 | -2
1 0 3 | 0
0 0 4 | 2
4z=2
z = 2/4 = 1/2
x+3z = 0
x+3/2 = 0
x = -3/2
x-y=-2
-3/2 - y = -2
-y = -2+(3/2) = -1/2
y = 1/2
Luego las respuestas son x=-3/2, y=1/2, z=1/2
Con a = 1
1 -1 4 | -2
1 0 4 | 0
0 0 0 | 0
Sobra una ecuación, por cada una que sobra hay que tomar
un parámetro, llamémoslo t y va a jugar el papel de la z.
En otros libros lo llaman directamente z. Tú hazlo como te
hayan enseñado
x - 4t = 0
x = -4t
x -y + 4z = -2
4t -y -4t = -2
-y=-2
y=2
Luego la respuesta es
x=4t, y=2, z=t para todo t € R
Son infinitas respuestas, una para cada t. Las repuestas
Forman una línea recta
Y eso es todo.